差分约束系统

先来看一道例题

现有未知数 a1,a2,⋯,an ，有若干个形如 ai−aj≤k 的不等式构成的不等式组，求解这个不等式组的一组解。

一眼看下去，好像很难入手。

我们先把不等式整理一下：

ai−aj≤k=ai≤aj+k

等一下，是不是有点熟悉？

对于一个图的最短路，我们设 disi 表示源点到 i 的最短路，那么如果j−>i，那么满足： disi≤disj+Wi,j

等等，你发现了什么？

没错，对于这个不等式组，我们可以像图的最短路问题一样连边（ ai−aj≤k 即 点j到 点 i 连一条边权为k的单向边），然后设一个源点s连向 a1,a2,⋯,an ，做一次最短路得出的{ disi }即为一组可行解。

像这样，由 n 个变量，有若干个形如ai−aj≤k约束的系统，就叫差分约束系统，像我们这样把它构成的图就叫做差分约束图。

再来看一组例题：

设有n个盒子标号为1…n，每个盒子最多放1个球。其中有若干个 [ai,bi,ci] 表示 ai ~ bi 最多可放 ci 个球，求这n个盒子最多可放多少个球。

这就是典型的求解有若干个形如 ai−aj≤k 条件约束的差分约束系统。

我们设 Si 表示 1 ~i放n个球，那么我们有：

0≤Sbi−Sai−1≤ci

0≤Si−Si−1≤1

按照上述方法连边，做一次最短路，所得的 disn 就是答案（可以证明一下为什么）。

至此我们大概了解了差分约束系统及其应用，这里还有一道例题：DY引擎。