【算法学习】同余最短路

前言

给定 \(n\) 个整数，求这 \(n\) 个整数能拼凑出多少的其他整数，类似这样的题型就可以用同余最短路来实现。

【同余最短路模板】P3403 跳楼机

本题可以抽象为如下问题：

给定四个正整数 \(x,y,z,H\)，求有多少个整数 \(d \in [1,H]\) 满足 \(ax+by+cz=d\)，其中 \(a,b,c\) 都是非负整数。

我们定义 \(k=by+cz\)，而这个 \(k\) 有特殊的性质就是 \(k\equiv{k+x}\equiv{k+2x}\equiv{\cdots }\equiv{k+ax} \pmod x\)，而且一定有 \(k \in [0,x-1]\)，也就是说我们知道了一个 \(k\) 且 \(k\) 合法的话我们就可以一直加 \(x\) 直到超过 \(H\) 限制。

当然如果 \(k\) 互不相同那 \(k+x\) 也互不相同。

所以我们有 \(dis_i\) 为使得 \(k\bmod x=i\) 的最低层数（层数越低可加的 \(x\) 就越多），然后我们将 \([0,x-1]\) 每个点都视为一个单独的节点，我们进行以下建边方式：

• \(i\) 向 \((i+y)\bmod x\) 建一条权值为 \(y\) 的有向边。

• \(i\) 向 \((i+z)\bmod x\) 建一条权值为 \(z\) 的有向边。

明显的 \(dis_0\) 一定为 \(0\)，所以我们以这个点为起点跑最短路得到每个点的 \(dis_i\)。

因为我们的点的范围为 \([0,x-1]\) 所以要将 \(H-1\) 使得起始楼层为 \(0\)。

楼层的最大限制为 \(h\)，那你从 \(k\) 通过加 \(x\) 最多可以加 \(\lfloor \frac{h-dis_i}{x} \rfloor+1\) 个 \(x\)（加一是因为 \(x\) 的系数可以为 \(0\)）。

那么最后的答案就是：

\[\sum_{i=0}^{x-1} \lfloor \frac{h-dis_i}{x} \rfloor+1 \]

代码部分：

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int N=1e6;
const int inf=1e16;
using namespace std;

int head[N];
int cnt=1;
struct ss{
	int v,next,w;
}e[N<<1];
void add(int u,int v,int w){
	e[++cnt].v=v;
	e[cnt].w=w;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}

int h,x,y,z;

int vis[N];
int dis[N];
queue<int> q;

void spfa(int s){
	dis[s]=0;
	vis[s]=1;
	q.push(s);
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		vis[x]=0;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
			int y=e[i].v;
			if(dis[y]>dis[x]+e[i].w){
				dis[y]=dis[x]+e[i].w;
				if(!vis[y]){
					q.push(y);
				}
			}
		}
	}
}

signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); 
	
	cin>>h>>x>>y>>z;
	h--;
	for(int i=0;i<x;i++){
		dis[i]=inf;
		add(i,(i+y)%x,y);
		add(i,(i+z)%x,z);
	}
	spfa(0);
	int ans=0;
	for(int i=0;i<x;i++){
		if(dis[i]<=h&&dis[i]!=inf){
			ans+=(h-dis[i])/x+1;
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

D - Small Multiple

直接从数位和上考虑，从 \(1\) 开始，加 \(1\) 数位和加 \(1\)，乘 \(10\) 数位和不变，直到若干次操作后，该数为 \(k\) 的倍数，此时当前的操作数位加和就为数位和。

此时就是同余最短路，首先加 \(1\) 操作就是向下一个点连权值为 \(1\) 的边，乘 \(10\) 操作就是向 \((x\times 10)\mod k\) 连权值为 \(0\) 的边，以 \(1\) 为起点 \(dis_1=1\)，跑最短路，\(dis_0\) 即为最小权值和。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define int ll
#define ls t[p].l
#define rs t[p].r
#define re register 
#define pb push_back
#define pir pair<int,int> 
#define f(a,x,i) for(int i=a;i<=x;i++)
#define fr(a,x,i) for(int i=a;i>=x;i--)
#define lowbit(x) x&-x;
using namespace std;
const int N=3e5+10;
const int M=2e5+4;
const int mod=1e9+7;
const int INF=1e17+7;
mt19937 rnd(251);

int n;

struct ss{
	int v,w,next;
}a[N];
int head[N];
int cnt=0;
int b[N];

void add(int u,int v,int w){
	a[++cnt].v=v;
	a[cnt].w=w;
	a[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}

int dis[N];

struct sss{
	int w,id;
	bool operator()(const sss& g,const sss& h) const {
		return g.w>h.w;
	}
};

priority_queue<sss,vector<sss>,sss> q;

void dijkstra(){
	dis[1]=1;
	q.push({1,1});
	
	while(!q.empty()){
		sss k=q.top();
		q.pop();
		int x=k.id;
		if(k.w>dis[x]) continue;	

		for(int i=head[x];i;i=a[i].next){
			int y=a[i].v;			
			if(dis[y]>dis[x]+a[i].w){
				dis[y]=dis[x]+a[i].w;
				q.push({dis[y],y});
			}
		}
	} 
}

int l,r;

void solve(){
	cin>>n;
	
	dis[0]=INF;
	for(int i=1;i<n;i++){
		dis[i]=INF;
		add(i,(i+1)%n,1);
		add(i,(i*10)%n,0);
	}
	dijkstra();
	cout<<dis[0]<<"\n";
}
signed main(){
//    freopen("a.in","r",stdin);
//    freopen("a.out","w",stdout);
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(nullptr);   
    int t=1;
//    cin>>t;
    while(t--){
        solve();
    }
    return 0;
}

P2662 牛场围栏

同样也是同余最短路，我们找到最小的数作为基准，如果所有数有 \(1\) 或者 \(dis\ge inf\) 则输出 \(-1\)，否则最大的数是 \(\max dis_i-x\)。

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
const int N=5100001;
const int inf=1e18;
using namespace std;

int head[2600001];
int cnt=1;
struct ss{
	int v,next,w;
}e[2600001];
void add(int u,int v,int w){
	e[++cnt].v=v;
	e[cnt].w=w;
	e[cnt].next=head[u];
	head[u]=cnt;
}

int n,l;
int a[105];

int vis[2600001];
int dis[2600001];
queue<int> q;
void spfa(int s){
	dis[s]=0;
	vis[s]=1;
	q.push(s);
	while(!q.empty()){
		int x=q.front();
		q.pop();
		vis[x]=0;
		for(int i=head[x];i;i=e[i].next){
			int y=e[i].v;
			if(dis[y]>dis[x]+e[i].w){
				dis[y]=dis[x]+e[i].w;
				if(!vis[y]){
					q.push(y);		
				}
			}
		}
	}
}
int tot=0;
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr); 
	cin>>n>>l;
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	sort(a+1,a+n+1);
	int k=max(1ll,a[1]-l);
	if(k==1){
		cout<<-1;
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=max(a[i-1]+1,a[i]-l);j<=a[i];j++){
			if(j!=k){
				for(int z=0;z<k;z++){
					add(z,(z+j)%k,j);
				}
			}
		}
	}
	
	for(int i=0;i<k;i++){
		dis[i]=inf;
	}
	spfa(0);
	int ans=0;
	for(int i=0;i<k;i++){
		if(dis[i]>inf){
			cout<<-1;
			return 0; 
		}
		ans=max(ans,dis[i]);
	}
	cout<<ans-k;
	return 0;
}