Riemann可积

引入迪利克雷函数

\[\mathcal D(x)=\left\{\begin{array}{l} 1,当x\in \mathbb Q\\ 0,当x\in\mathbb R\setminus\mathbb Q \end{array}\right. \]

在闭区间\([0,1]\)上不可积，因为对区间\([0,1]\)的任何分划\(P\)，在其每个区间\(\Delta_i\)中都能找到一个有理数\(\xi_i'\)和一个无理数\(\xi_i''\).因此

\[\sigma(f;P,\xi')=\sum_{i=1}^n 1\cdot \Delta x_i=1 \]

而

\[\sigma(f;P,\xi'')=\sum_{i=1}^n 0\cdot \Delta x_i=0 \]

这样一来，当\(\lambda(P)\to 0\)时函数\(\mathcal D(x)\)的积分和不可能有极限.
还可以利用勒贝格判别法：定义在区间\([a,b]\)上的函数\(f\)，当且仅当它在\([a,b]\)上有界且几乎处处连续时，它在该区间上黎曼可积.
因为\(\mathcal D(x)\)在\([0,1]\)中间断点的集合不是零测度集，所以它是不可积的.

又定义黎曼函数

\[\mathcal R(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac 1n,当x\in \mathbb Q且x=\dfrac mn是既约分数，\\ 0,当x\in\mathbb R\setminus \mathbb Q \end{array}\right. \]

我们知道它在一切无理点连续，有理点间断，这样一来，间断点的集合是可数的，而且测度为0.依据勒贝格判别法，尽管这个函数在积分区间的任何分划的任何区间中都有间断点，但它在任何区间\([a,b]\subset\mathbb R\)上仍然是可积的.