「POI2017」 Sabotaż

题意

给定一棵大小为 \(n\) 的树，树上有一个未知节点被染色。对于任意一个节点，若它的子树中被染色的比例超过实数 \(x\)，则它也被染色。给定整数 \(k\)，求出最小的 \(x\)，使得被染色节点最多不超过 \(k\) 个。

分析

比较明显的树形 DP，可以在 DFS 里面求出每个节点的子树大小 \(siz\)。

设 \(f_i\) 表示第 \(i\) 个节点的子树内最小的 \(x\)。

所以第 \(u\) 个节点被染色，当且仅当存在被染色的孩子节点 \(v\)，使得 \(f_v>f_u\)（当前节点的 \(x\) 小于孩子节点）；或 \(siz_v\div(siz_u-1)>f_u\)（孩子结点的子树大小已经可以让当前节点染色）。

可得状态转移方程为 \(f_u=\max(f_u,\min(f_v,siz_v\div(siz_u-1)))\)。

整个过程在 DFS 里实现，每个节点最多被遍历到一次，总时间复杂度 \(O(n)\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(c<48||c>57){if(c==45)f=0;c=getchar();}while(c>47&&c<58)x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();return f?x:-x;}
const ll maxn=5e5+5;
ll n,k,siz[maxn];
vector<ll>son[maxn];
double ans,f[maxn];
inline void dfs(ll u,ll pre){
    siz[u]=1;
    for(auto v:son[u]){
        if(v==pre)continue;
        dfs(v,u);
        siz[u]+=siz[v];
    }
    if(siz[u]==1){f[u]=1;return;}
    for(auto v:son[u]){
        if(v==pre)continue;
        f[u]=max(f[u],min(f[v],siz[v]*1.0/(siz[u]-1)));
    }
    if(siz[u]>k)ans=max(ans,f[u]);
}
signed main(){
    n=read(),k=read();
    for(ll i=2;i<=n;++i){
        ll u=read();
        son[u].push_back(i);
    }
    dfs(1,0);
    printf("%.8lf",ans);
    return 0;
}