「CF1766D」 Lucky Chains

题意

给定 \(T\) 组整数 \(x,y(1\le x,y\le 10^7)\)，求出整数 \(k\)，使得 \((x,y),(x+1,y+1),\cdots,(x+k,y+k)\) 互质，\((x+k+1,y+k+1)\) 不互质，若 \(k\) 有无数解，输出 -1，否则输出 \(k\) 的值。

分析

当 \(y-x=1\) 时，\(k\) 有无数组解。

因为 \(\gcd(x+k,y+k)\ne 1\)，由小学奥数的“更相减损术”，\(\gcd(y-x,x+k)\ne 1\)。

设 \(y-x\) 的因子为 \(a\)，则最小的 \(k\) 为 \(a-(x\bmod a)\)。

可以直接枚举 \(a\)，但因子太多了会超时。

发现质因子肯定比合因子更优，所以可以直接用素数筛，求解出 \(i\) 的最小质因子 \(lmx_i\)，则可以直接用 \(lmx_{lmx_i}\) 代替暴力的枚举。

因为质因子最多有 \(\log y\) 个，所以总时间复杂度 \(O(T\log y)\)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
inline ll read(){ll x=0,f=1;char c=getchar();while(c<48||c>57){if(c==45)f=0;c=getchar();}while(c>47&&c<58)x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();return f?x:-x;}
const ll maxn=1e7+5;
ll t,num[maxn],tot,lmx[maxn];
bool vis[maxn];
inline void prime_set(ll n){
	vis[0]=vis[1]=1;
	for(ll i=2;i<=n;++i){
		if(!vis[i]){
            num[++tot]=i,lmx[i]=i;
        }
        for(ll j=1;j<=tot&&i*num[j]<=n;++j){
            vis[i*num[j]]=num[j];
            lmx[i*num[j]]=num[j];
            if(i%num[j]==0)break;
        }
	}
}
signed main(){
    t=read();
    prime_set(10000000);
    while(t--){
        ll x=read(),y=read(),ans=LLONG_MAX,dis=y-x;
        if(dis==1){puts("-1");continue;}
        if(__gcd(x,y)!=1){puts("0");continue;}
        while(dis>1){
            ans=min(ans,lmx[dis]-x%lmx[dis]);
            dis/=lmx[dis];
        }
        if(ans==LLONG_MAX)ans=-1;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}