「CF1575L」 Longest Array Deconstruction

双倍经验

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题意

题目给的很清楚了，不多说。

分析

看到题目，因为在dp题单里，所以一眼是个dp，我们先想朴素算法，可以发现，如果设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数中删掉 \(j\) 个所能得到的最大结果，若 \(a_i=i\)，则 \(f_{i,j}=f_{i-1,j}+1\)；否则，可以直接从 \(f_{i-1,j-1}\) 转移。

可以很快地打出一个 \(O(n^2)\) 的暴力。

f[1][0]=(a[1]==1);
for(ll i=2;i<=n;++i)f[i][0]=f[i-1][0]+(a[i]==i);
for(ll i=1;i<=n;++i){
    for(ll j=1;j<=i;++j){
        f[i][j]=max(f[i-1][j]+(a[i]==i-j),f[i-1][j-1]);
    }
}

但是由于 \(1\le n\le 2\times 10^5\)，所以它会 TLE+MLE。

第一维的 \(i\) 不可能优化掉。

看第二维 \(j\)，经过思考后可以发现，因为空间复杂度应是 \(O(n)\) 级别的，就可以设 \(f_{i,0/1}\) 表示第 \(i\) 个数是否归到 \(a_i\) 的位置上的最大结果。思再想一想，可发现应设 \(f_i\) 表示 \(i\) 归位的最大结果，因为求 \(f_{i,0}\) 没什么意义。

对此，可得 \(f_i=\max(f_j)+1\quad(a_j<a_i,j-a_j\le i-a_i)\)，然后可用树状数组维护二维偏序，不会的看这里(能做这题的应该都会吧)。

Code

#include<bits/stdc++.h>
typedef long long ll;
using namespace std;
ll n,a[2000005],c[2000005],m=1e6;
inline ll lowbit(ll x){return x&-x;}
inline void update(ll x,ll val){
    while(x<=m){
        c[x]=max(c[x],val);
        x+=lowbit(x);
    }
}
inline ll ask(ll x){
    ll res=0;
    while(x){
        res=max(res,c[x]);
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;
}//树状数组维护二维偏序
vector<ll>cnt[2000005];
signed main(){
    cin>>n;
    for(ll i=1;i<=n;++i){
        cin>>a[i];
        if(i>=a[i]){
            cnt[i-a[i]].push_back(a[i]);//预处理一下可能的i-a[i]
        }
    }
    for(ll i=0;i<=m;++i){
        for(ll j:cnt[i]){
            update(j,ask(j-1)+1);//更新
        }
    }
    cout<<ask(m);
    return 0;
}