重链剖分(维护树上信息)复习笔记
本文将介绍重链剖分算法。
问题的引入
看下面一道题：
有一棵根为 \(1\) 的树，点上有点权，进行如下操作：
- 将以 \(x\) 为根的子树内所有节点的点权增加 \(k\)。
- 求以 \(x\) 为根的子树内所有节点的点权之和。
节点数 \(1\le n\le 10^5\)，询问数 \(1\le m\le 10^5\)。
显然，本题可以简单地使用 dfs 序线段树，将树上问题转化为数列上问题。
那么如果添加两个新的操作呢？
- 将 \(x\) 到 \(y\) 的简单路径上所有节点的点权增加 \(k\)。
- 求 \(x\) 到 \(y\) 的简单路径上所有节点的点权之和。
以上问题便是 洛谷 P3384 轻重链剖分。
此时 dfs 序线段树便无法解决了，需要引入一个新的算法，也就是重链剖分。
重链剖分
概念和定义
以下是重链剖分中的一些定义：
- 重儿子：对于一个非叶子节点，它的儿子中子树最大的那个节点称为它的重儿子。
- 轻儿子：对于一个非叶子节点，它的所有儿子中不是重儿子的都称为它的轻儿子。
- 重边：一个非叶子节点与它的重儿子相连的边称为重边。
- 重链：由一系列重边相连组成的链称为重链。
- 轻链：由一系列非重边相连组成的链称为轻链。
根据以上定义，显然有：
- 叶子节点没有重儿子或轻儿子（因为它没有儿子）。
- 每一条重链的起点是轻儿子。
- 所有重链互不相交，每个点只属于一条重链。
- 重链长度之和为 \(O(n)\)（因为每个点只属于一条重链）。
- 一个点到根节点经过的轻边条数最多为 \(O(\log n)\)。
我们定义的数组如下：
- \(dis_u\)：\(u\) 的深度。
- \(fa_u\)：\(u\) 的父亲。
- \(sz_u\)：\(u\) 的子树大小。
- \(son_u\)：\(u\) 的重儿子编号。
- \(top_u\)：\(u\) 所在重链的顶端。
- \(dfn_u\)：\(u\) 的 dfs 序（注意这里的 dfs 序与普通的不同，将在 dfs2 进行讲解。）
dfs1
在第一次 dfs 中，我们需要处理出每个节点的 \(dis,fa,sz,son\)。
伪代码：
\[\begin{array}{ll}
1 & \textbf{Method}\ \text{dfs1(u,f).}\\
2 & \textbf{let}\ dis_u\gets dis_f+1\\
3 & \textbf{let}\ fa_u\gets f\\
4 & \textbf{let}\ sz_u\gets 1\\
5 & \textbf{for}\ v\in\{\text{son of}\ u\}\\
6 & \qquad\text{dfs1(v,u)}\\
7 & \qquad\textbf{if}\ sz_v\gt sz_{son_u}\\
8 & \qquad\qquad\textbf{let}\ son_u\gets v
\end{array}
\]
dfs2
在第二次 dfs 中，我们需要处理出每个节点的 \(top,dfn\)，要先 dfs2 处理重儿子再处理轻儿子。
伪代码：
\[\begin{array}{ll}
1 & \textbf{Method}\ \text{dfs2(u,tp).}\\
2 & \textbf{let}\ top_u\gets tp\\
3 & \textbf{let}\ tot\gets tot+1\\
4 & \textbf{let}\ dfn_u\gets tot\\
5 & \textbf{if}\ u\ \text{is leaf}\\
6 & \qquad\textbf{return}\\
7 & \text{dfs2(}son_u\text{,tp)}\\
8 & \textbf{for}\ v\in\{\text{son of}\ u\land v\ne son_u\}\\
9 & \qquad\text{dfs2(v,v)}
\end{array}
\]
数据处理
我们可以在 dfs2 中处理出在 dfn 意义下每个点的权值，然后使用线段树维护即可。
对于链上操作，我们每次找到深度较深的点，因为 dfs2 中先处理重链后处理轻链，所以重链的 dfn 是连续的，直接将这个点到重链顶端的区间进行操作，然后将这个点跳到重链顶端的父亲。
一直重复如上操作，直到两个点在同一条重链，此时两个点之间的 dfn 也是连续的，再进行一次区间操作即可。
伪代码：
\[\begin{array}{ll}
1 & \textbf{Method}\ \text{modify(u,v).}\\
2 & \textbf{while}\ top_u\ne top_v\\
3 & \qquad\textbf{if}\ dis_u\lt dis_v\\
4 & \qquad\qquad\textbf{swap}\ u,v\\
5 & \qquad\text{SegmentTreeModify(}[dfn_{top_u},dfn_u]\text{)}\\
6 & \qquad\textbf{let}\ u\gets fa_{top_u}\\
7 & \textbf{if}\ dis_u\lt dis_v\\
8 & \qquad\textbf{swap}\ u,v\\
9 & \text{SegmentTreeModify(}[dfn_v,dfn_u]\text{)}
\end{array}
\]
本题完结撒花！
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