题解 P9384【[THUPC 2023 决赛] 着色】

有趣的构造题！

不存在三元环或五元环颜色相同看起来很诈骗，不妨加强一下问题，使得不存在奇环颜色相同。也就是说，每种颜色构成一个二分图。

又发现颜色数 \(10=\lceil\log_21000\rceil\)，其中 \(1000\) 是 \(n\) 的上限。因此，我们可以自然地想到使用二进制位为 \(0\) 或为 \(1\) 作为划分左部、右部的依据。

具体地，我们使得连接 \(u,v\) 的边的颜色为 \(\operatorname{ctz}(u\oplus v)\)，其中 \(\operatorname{ctz}(x)=\log_2(\operatorname{lowbit}(x))\)，是 \(x\) 二进制后导零个数。容易发现，这种构造是符合要求的，每种颜色的边必定连接某一个二进制位不同的两个点，因此每种颜色的边都构成二分图。

于是不存在奇环颜色相同，自然就不存在三元环或五元环颜色相同了。

//By: OIer rui_er
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(x,y,z) for(int x=(y);x<=(z);x++)
#define per(x,y,z) for(int x=(y);x>=(z);x--)
#define debug(format...) fprintf(stderr, format)
#define fileIO(s) do{freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout);}while(false)
using namespace std;
typedef long long ll;

mt19937 rnd(std::chrono::duration_cast<std::chrono::nanoseconds>(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch()).count());
int randint(int L, int R) {
    uniform_int_distribution<int> dist(L, R);
    return dist(rnd);
}

template<typename T> void chkmin(T& x, T y) {if(x > y) x = y;}
template<typename T> void chkmax(T& x, T y) {if(x < y) x = y;}

int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    rep(i, 1, n-1) {
        rep(j, i+1, n) printf("%d", (int)__builtin_ctz(i ^ j));
        puts("");
    }
    return 0;
}