题解 CF1770D【Koxia and Game】

观察：对于每个 \(x\)，至少存在一个 \(i\)，使得 \(a_i,b_i,c_i\) 中至少两个等于 \(x\)。

证明：假设 \(x_0\) 不符合条件。Koxia 只需要删除所有等于 \(x_0\) 的 \(a_i,b_i,c_i\)，便可以使得 Mahiru 无法取到 \(x_0\)，从而无法构成排列。\(\square\)

我们建无向图 \(G=(V,E)\)，其中 \(V=\{i\mid 1\le i\le n\}\)，\(E=\{(a_i,b_i)\mid 1\le i\le n\}\)。问题等价于给每条边定向，使得每个点入度均为 \(1\)。

易证，要有解，则 \(G\) 的每个连通块必须是一棵基环树。其中，含自环的连通块对答案的贡献是 \(n\) 倍（因为 \(c_i\) 可以任意取），不含自环的连通块对答案的贡献是 \(2\) 倍（环的方向）。

赛时代码可能略微写麻烦了，但是还是比较清晰的，放在这里供参考。

// Problem: D. Koxia and Game
// Contest: Codeforces - Good Bye 2022: 2023 is NEAR
// URL: https://codeforces.com/contest/1770/problem/D
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

//By: OIer rui_er
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(x,y,z) for(ll x=(y);x<=(z);x++)
#define per(x,y,z) for(ll x=(y);x>=(z);x--)
#define debug(format...) fprintf(stderr, format)
#define fileIO(s) do{freopen(s".in","r",stdin);freopen(s".out","w",stdout);}while(false)
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1e5+5, mod = 998244353;

ll T, n, a[N], b[N], buc[N], vis[N], cnt[N], sz[N];
vector<ll> e[N];
template<typename T> void chkmin(T& x, T y) {if(x > y) x = y;}
template<typename T> void chkmax(T& x, T y) {if(x < y) x = y;}
bool dfs1(ll u, ll f) {
	for(ll v : e[u]) {
		if(v == f) continue;
		if(vis[v]) return 0;
		vis[v] = 1;
		if(!dfs1(v, u)) return 0;
	}
	return 1;
}
void dfs2(ll u, ll rt) {
	vis[u] = 1;
	++sz[rt];
	for(ll v : e[u]) {
		++cnt[rt];
		if(!vis[v]) dfs2(v, rt);
	}
}

int main() {
	for(scanf("%lld", &T); T; T--) {
		scanf("%lld", &n);
		rep(i, 1, n) scanf("%lld", &a[i]);
		rep(i, 1, n) scanf("%lld", &b[i]);
		ll ans = 1;
		rep(i, 1, n) {
			if(a[i] == b[i]) {
				++buc[a[i]];
				vis[a[i]] = 1;
			}
		}
		rep(i, 1, n) {
			if(buc[i] > 1) ans = 0;
			else if(buc[i] == 1) ans = ans * n % mod;
		}
		rep(i, 1, n) {
			if(a[i] != b[i]) {
				if(buc[a[i]] && buc[b[i]]) ans = 0;
				else {
					e[a[i]].push_back(b[i]);
					e[b[i]].push_back(a[i]);
				}
			}
		}
		rep(i, 1, n) if(buc[i]) if(!dfs1(i, 0)) ans = 0;
		rep(i, 1, n) {
			if(!vis[i]) {
				dfs2(i, i);
				// printf("%lld : %lld %lld\n", i, cnt[i], sz[i]);
				if(cnt[i] != sz[i] * 2) ans = 0;
				else ans = ans * 2 % mod;
			}
		}
		printf("%lld\n", ans);
		rep(i, 1, n) {
			a[i] = b[i] = buc[i] = vis[i] = cnt[i] = sz[i] = 0;
			e[i].clear();
		}
	}
	return 0;
}