题解：AT_abc436_g [ABC436G] Linear Inequation

本题是一个完全背包问题。设 \(A=\max_{i=1}^nA_i\)。

设 \(f(m)\) 表示 \(\sum_{i=1}^NA_ix_i=m\) 的解数，考虑写出生成函数：

\[F(z)=\prod_{i=1}^N\sum_{k=0}^{+\infty}z^{A_ik}=\prod_{i=1}^N\frac{1}{1-z^{A_i}} \]

则 \(f(m)=[z^m]F(z)\)。

由于 \(F(z)\prod_{i=1}^N(1-z^{A_i})=1\)，故 \(f(m)\) 是一个阶数最多为 \(D=\sum_{i=1}^NA_i\le NA\le 10^4\) 的线性递推。答案是 \(\sum_{m=1}^Mf(m)\)，从而是一个阶数最多为 \(D+1\) 的线性递推。

通过上面的分析，你当然可以直接把线性递推系数算出来。但是我懒，所以通过完全背包求出前充分多项的值后，直接用 Berlekamp-Massey 算法求线性递推系数即可。

最后使用 Bostan-Mori 或其他算法求解线性递推即可。

时间复杂度 \(O(D^2+D\log D\log M)\)，其中 \(D=NA\)。

代码：

//By: OIer rui_er
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(x, y, z) for(int x = (y); x <= (z); ++x)
#define per(x, y, z) for(int x = (y); x >= (z); --x)
#define debug(format...) fprintf(stderr, format)
#define fileIO(s) do {freopen(s".in", "r", stdin); freopen(s".out", "w", stdout);} while(false)
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;

namespace Polynomial {
    // 篇幅过长，多项式全家桶省略
    // 完整代码见 https://atcoder.jp/contests/abc436/submissions/71684486
}

using namespace Polynomial;

const int K = 105, M = 2e4 + 5;

int n, a[K];
ll m;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0); cout.tie(0);
    initPoly(N);
    cin >> n >> m;
    rep(i, 1, n) cin >> a[i];
    Poly<mod, g> F(M);
    F[0] = 1;
    rep(i, 1, n) rep(j, a[i], M - 1) F[j] += F[j - a[i]];
    rep(j, 1, M - 1) F[j] += F[j - 1];
    if(m < M) cout << F[m] << endl;
    else {
    	Poly<mod, g> A = berlekamp_massey(F);
    	A.insert(A.begin(), 0);
    	cout << bostan_mori(A, F, m, A.size()) << endl;
    }
    return 0;
}