题解：P12650 [KOI 2024 Round 2] 双 v 字形涂色
有点复杂的 DP 题。
设 \(UL(x,y)\) 表示从白格子 \((x,y)\) 开始向左上方连续白色格子数量，\(UR(x,y)\) 表示从白格子 \((x,y)\) 开始向右上方连续白色格子数量，\(V(x,y)=UL(x,y)+UR(x,y)-1\) 表示在白格子 \((x,y)\) 处执行 V 字形涂色时被涂色的格子数量。特别地，若 \((x,y)\) 为黑色，规定以上三个值均为 \(0\)。
可以根据 \(x+y\) 的奇偶性将所有格子 \((x,y)\) 分为两类。注意到，一次 V 字形涂色中被涂色的所有格子均在同一类中。因此，若两次涂色选择的格子分别在两类中，它们之间必然不会互相干扰，两个 \(V\) 值之和即为被涂色的格子数量\(^{[1]}\)。
下面讨论两次涂色选择的格子在同一类中的情况。
若一个 V 形被包含在另一个 V 形的直角内，它们之间也不会互相影响。设 \(B(x,y)\) 表示顶点在 \((x,y)\) 及其 V 形的直角内的所有 V 形的最大 \(V\) 值，不难得到其转移：
所有 \(V(x,y)+B(x-1,y)\) 可以用于更新答案\(^{[2]}\)。
否则，或者先对左侧进行涂色，得到完整的左侧 V 形以及受左侧影响的不完整的右侧 V 形，或者先对右侧进行涂色，得到完整的右侧 V 形以及受右侧影响的不完整的左侧 V 形。注意到，第一种情况中的两个部分可以被一条 \(x+y=k\) 的直线分隔开，第二种情况中的两个部分可以被一条 \(x-y=k\) 的直线分隔开。
设 \(LV(x,y)\) 表示从白格子 \((x,y)\) 出发，先向左下方走若干个白色格子（也可以不走），再向左上方走若干个白色格子，最多有多少个格子；\(RV(x,y)\) 表示从白格子 \((x,y)\) 出发，先向右下方走若干个白色格子（也可以不走），再向右上方走若干个白色格子，最多有多少个格子。不难得到其转移：
分别统计 \(x+y\le k\) 时 \(V\) 的最大值、\(x+y\ge k\) 时 \(RV\) 的最大值，即可求出第一种情况的答案\(^{[3]}\)；分别统计 \(x-y\le k\) 时 \(LV\) 的最大值、\(x-y\ge k\) 时 \(V\) 的最大值，即可求出第二种情况的答案\(^{[4]}\)。
取 \([1][2][3][4]\) 四种情况答案的最大值即为最终答案。
时间复杂度 \(O(nm)\)。
//By: OIer rui_er
#include <bits/stdc++.h>
#define rep(x, y, z) for(int x = (y); x <= (z); ++x)
#define per(x, y, z) for(int x = (y); x >= (z); --x)
#define debug(format...) fprintf(stderr, format)
#define fileIO(s) do {freopen(s".in", "r", stdin); freopen(s".out", "w", stdout);} while(false)
#define endl '\n'
using namespace std;
typedef long long ll;
mt19937 rnd(std::chrono::duration_cast<std::chrono::nanoseconds>(std::chrono::system_clock::now().time_since_epoch()).count());
int randint(int L, int R) {
uniform_int_distribution<int> dist(L, R);
return dist(rnd);
}
template<typename T> void chkmin(T& x, T y) {if(y < x) x = y;}
template<typename T> void chkmax(T& x, T y) {if(x < y) x = y;}
template<int mod>
inline unsigned int down(unsigned int x) {
return x >= mod ? x - mod : x;
}
template<int mod>
struct Modint {
unsigned int x;
Modint() = default;
Modint(unsigned int x) : x(x) {}
friend istream& operator>>(istream& in, Modint& a) {return in >> a.x;}
friend ostream& operator<<(ostream& out, Modint a) {return out << a.x;}
friend Modint operator+(Modint a, Modint b) {return down<mod>(a.x + b.x);}
friend Modint operator-(Modint a, Modint b) {return down<mod>(a.x - b.x + mod);}
friend Modint operator*(Modint a, Modint b) {return 1ULL * a.x * b.x % mod;}
friend Modint operator/(Modint a, Modint b) {return a * ~b;}
friend Modint operator^(Modint a, int b) {Modint ans = 1; for(; b; b >>= 1, a *= a) if(b & 1) ans *= a; return ans;}
friend Modint operator~(Modint a) {return a ^ (mod - 2);}
friend Modint operator-(Modint a) {return down<mod>(mod - a.x);}
friend Modint& operator+=(Modint& a, Modint b) {return a = a + b;}
friend Modint& operator-=(Modint& a, Modint b) {return a = a - b;}
friend Modint& operator*=(Modint& a, Modint b) {return a = a * b;}
friend Modint& operator/=(Modint& a, Modint b) {return a = a / b;}
friend Modint& operator^=(Modint& a, int b) {return a = a ^ b;}
friend Modint& operator++(Modint& a) {return a += 1;}
friend Modint operator++(Modint& a, int) {Modint x = a; a += 1; return x;}
friend Modint& operator--(Modint& a) {return a -= 1;}
friend Modint operator--(Modint& a, int) {Modint x = a; a -= 1; return x;}
friend bool operator==(Modint a, Modint b) {return a.x == b.x;}
friend bool operator!=(Modint a, Modint b) {return !(a == b);}
};
const int N = 3e3 + 5;
int n, m, a[N][N], UL[N][N], UR[N][N], V[N][N], LV[N][N], RV[N][N], pLV[N << 1], pRV[N << 1], fLV[N << 1], fRV[N << 1], B[N][N];
string s[N];
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n >> m;
rep(i, 1, n) cin >> s[i];
rep(i, 1, n) rep(j, 1, m) a[i][j] = s[i][j - 1] - '0';
rep(i, 1, n) {
rep(j, 1, m) {
if(a[i][j]) {
UL[i][j] = UL[i - 1][j - 1] + 1;
UR[i][j] = UR[i - 1][j + 1] + 1;
V[i][j] = UL[i][j] + UR[i][j] - 1;
}
B[i][j] = max({B[i - 1][j - 1], B[i - 1][j], B[i - 1][j + 1], V[i][j]});
}
}
per(i, n, 1) {
rep(j, 1, m) {
if(a[i][j]) {
LV[i][j] = max(UL[i][j], LV[i + 1][j - 1] + 1);
RV[i][j] = max(UR[i][j], RV[i + 1][j + 1] + 1);
chkmax(pLV[j + n - i + 1], LV[i][j]);
chkmax(pRV[i + j], RV[i][j]);
chkmax(fLV[j + n - i + 1], V[i][j]);
chkmax(fRV[i + j], V[i][j]);
}
}
}
rep(i, 1, n + m) {
chkmax(pLV[i], pLV[i - 1]);
chkmax(fRV[i], fRV[i - 1]);
}
per(i, n + m, 1) {
chkmax(pRV[i], pRV[i + 1]);
chkmax(fLV[i], fLV[i + 1]);
}
int oM = 0, eM = 0;
rep(i, 1, n) {
rep(j, 1, m) {
if((i + j) & 1) chkmax(oM, V[i][j]);
else chkmax(eM, V[i][j]);
}
}
int ans = oM + eM;
rep(i, 1, n + m - 1) {
chkmax(ans, pLV[i] + fLV[i + 1]);
chkmax(ans, fRV[i] + pRV[i + 1]);
}
rep(i, 1, n) {
rep(j, 1, m) {
chkmax(ans, V[i][j] + B[i - 1][j]);
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
浙公网安备 33010602011771号