PageRank简单实现中的一个错误

在我的一篇博客PageRank中,在5.1 算法实现中简单实现部分原本是有一个错误的。这个错误也体现出我当时对PageRank算法有理解上的偏差。


这是个什么样的错误呢?是这样的:

简单实现中计算每个网页的PR值时使用的是最原始的方法,即下面的这个公式:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 - \alpha)}{N} \]

这个公式要求所有网页的PR值之和为1。而我原本的代码中给每个网页赋予的初始PR值的代码为:

page_rank = dict.fromkeys(nodes, 1.0)  # 给每个节点赋予初始的PR值

也就是说,我给出的初始PR值之和为5(例子中共有5个网页)。

犯这个错误的原因是我理解错了“\(P_0\)的选取无关”这句话。正确的理解应该是:“\(P_0\)的初始概率分布无关”。


然而,我理解错了也还有另一个原因,那就是我原来的程序中不管给出的初始PR值是多少,最终的PR值都是一样的。现分析如下:

按照我原本的程序逻辑,我使用的公式应该是这样的,其中\(G\)为所有网页:

\[ PR(p_{i}) = \alpha \sum_{p_{j} \in M_{p_{i}}} \frac{PR(p_{j})}{L(p_{j})} + \frac{(1 - \alpha)}{N} \sum_{p_k \in G} PR(p_k) \]

而我却使用了最原始的公式,造成了:

\[ 每轮迭代,每个页面的PR值都减少了 \frac{(1 - \alpha)}{N} * (上轮PR值总和 - 1) \\ \Rightarrow 每轮迭代,PR值总和都减少了 (1 - \alpha) * (上轮PR值总和 - 1) \]

现假设初始PR值总和为 \(A_0\),则有:

\[ 最开始,PR值总和为:A_0 \\ 第一轮迭代之后,PR值总和为:A_1 = A_0 - (1 - \alpha) (A_0 - 1) = \alpha A_0 + 1 - \alpha \\ 以此类推,则有 \\ A_{n} = \alpha A_{n-1} + 1 - \alpha \\ \Rightarrow A_{n} - 1 = \alpha (A_{n-1} - 1) \\ \Rightarrow A_{n} - 1 = \alpha^{n} (A_{0} - 1) \\ \Rightarrow A_{n} = \alpha^{n} (A_{0} - 1) + 1\\ \because \alpha < 1 \\ \therefore \lim_{n \rightarrow \infty} A_n = 1 \]

即不管初始PR值为多少,最终其和都将趋于1(若初始值之和小于1,用相似的方法可以证明)。也就是说,最终结果是一样的(因为最终趋于1之后就相当于以“PR值总和为1”的情况又开始了计算)。这一点在代码中也有体现:当PR值设置得很大的时候,需要迭代的次数也相应增大。


总结:应该使用最上面的公式,同时初始PR值总和应该设置为1。

posted @ 2016-08-23 16:34 刀刀流 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏