一些思维题(一)
题目：
ICPC南京 K Co-prime Permutation
题意：
给定n,k，构造一个n的全排列p[1],p[2]....p[n]，这个全排列要满足恰好有k个p[ i ] 和 i 互质
1<=n<=1e6,0<=k<=n
CF 1336B Xenia and Colorful Gems
题意：
给nr个红色的正整数，ng个绿色的正整数,nb个蓝色的正整数
每种颜色各选出一个数字，记为x,y,z,要使(x−y)2+(y−z)2+(z−x)2最小
t组输入,t<=100, 1 <=nr,ng,nb(都是t组的总和)<=1e5
CF #635（div1）A. Linova and Kingdom
题意：
给一颗节点数为n的树，给定k，要使这棵树上有k个A节点，n-k个B节点,每个A节点会产生一个贡献，其贡献为该节点到根节点路径上的B节点的个数,问最大贡献是多少
2<=n<=2e5, 1<=k<n
CF 1468J Road Reform
题意:
给一个n个节点,m条边的无向联通图，给定k，有两种操作，一种是删除一条边，另一种是把边的权值加一或减一，目标是把这个图变成一颗树，并且这棵树上的最大权值边的权值恰好为k，求第二种操作的操作数最少为多少
2<=n<=2e5，n−1≤m≤min(2e5,n(n−1)/2),1<=k<=1e9, 1<=边的权值<=1e9
牛客9981C 红和蓝
题意：
给一颗n个节点的树，要把这棵树上的所有节点染成红色或蓝色，要求每个节点的周围节点（即与之相连的节点）有且仅有一个节点颜色与之相同，输出任意的染色方案,若不存在则输出-1
1<=n<=1e5
思路/做法：
ICPC南京 K Co-prime Permutation
构造题
n很大，看起来很难，素数分解后也不知道怎么构造
要用一个常用的结论：i和i+1互质
结论证明：更相减损即可
还有一个结论：1和所有数互质
当k = 0时是不存在的
利用这两个结论，1 <= i <= k-1 ，p[i] = i+1，然后p[k] = 1，后面的p[i] = i 即可
CF 1336B Xenia and Colorful Gems
看起来很难,而且无从下手
任选3个数，情况太多了
所以想想先任选第一个数，剩下的两个数怎么选，
遇到这种问题，要确定一个方向性，比如说，先选择的第一个数是这三个数最大的，第二个数是这三个数第二大的，用这种方法来遍历
以先选x，再选y，再选z为例，先选一个x，然后遍历y，y要<=x，然后选定z,z要<=y,并且这个z要最接近y
y是必须遍历的，而不是直接选择一个最接近x的y，可以证明y最接近x的情况不一定是最优的
但是y不需要每次都重新遍历，就是说，每次选择了一个x，y不需重新从头开始遍历，可以证明：比如说当x选x[2]时，y可以选y[1]到y[12]，y选y[10]是最优的,当x选x[3]时，比如这时y可以选到y[15]，y不需要从y[1]遍历到y[10]，而是从y[13]遍历到y[15]，因为y[10]是x选x[2]时,y在y[1]到y[12]里最优的，y[10]也一定是x选x[3]时,y在y[1]到y[12]里最优的，所以我们只要维护之前最优的位置(y[10])即可
可以用尺取法遍历x,y，选择z
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+7;
long long r[MAXN],g[MAXN],b[MAXN];
int nr,ng,nb;
long long qiu(long long a,long long b,long long c) {
return (a-b)*(a-b) + (a-c)*(a-c) + (b-c)*(b-c);
}
long long ans;
void solve(long long r[],int nr,long long g[],int ng,long long b[],int nb){
int pos1 = 1,pos2 = 1,pos3 = 1;
int pp2 = 0,pp3 = 0; //pp2来记录pos2最佳的位置
long long res = qiu(r[1],g[1],b[1]);
for(;pos1 <= nr;pos1++){//遍历x
while(g[pos2] < b[pos3]) pos2++;
while(r[pos1] < g[pos2]) pos1++;
if(pos1>nr||pos2>ng||pos3>nb) break;
if(pp2 && pp3) res = min(res,qiu(r[pos1],g[pp2],b[pp3]));
for(;pos2<=ng&&g[pos2]<=r[pos1];pos2++){//遍历y,pos2不从1开始
for(;pos3<=nb&&b[pos3]<=g[pos2];pos3++);
pos3--;
if(!pos3) continue;
long long tmp = qiu(r[pos1],g[pos2],b[pos3]);
if(tmp < res){
pp2 = pos2;//记录最佳位置
pp3 = pos3;
res = tmp;
}
}
pos2--;
}
ans = min(ans,res);
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--){
scanf("%d%d%d",&nr,&ng,&nb);
for(int i = 1;i<=nr;i++) scanf("%lld",&r[i]);sort(r,r+nr+1);
for(int i = 1;i<=ng;i++) scanf("%lld",&g[i]);sort(g,g+ng+1);
for(int i = 1;i<=nb;i++) scanf("%lld",&b[i]);sort(b,b+nb+1);
ans = qiu(r[1],g[1],b[1]);
solve(r,nr,g,ng,b,nb);
solve(g,ng,b,nb,r,nr);
solve(b,nb,r,nr,g,ng);
solve(r,nr,b,nb,g,ng);
solve(g,ng,r,nr,b,nb);
solve(b,nb,g,ng,r,nr);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
还有一种更简单的做法，是我看了题解才会的
考虑选择出来的最优的x,y,z，x一定是所有大于y的x[i]里最小的，z一定是所有小于y的z[i]里最大的
所以我们遍历y，然后用二分选择出x,z即可
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5+7;
long long r[MAXN],g[MAXN],b[MAXN];
int nr,ng,nb;
long long qiu(long long a,long long b,long long c) {
return (a-b)*(a-b) + (a-c)*(a-c) + (b-c)*(b-c);
}
long long ans;
void solve(long long r[],int nr,long long g[],int ng,long long b[],int nb){
for(int pos2 = 1;pos2 <= ng;pos2++){
int pos1 = lower_bound(r+1,r+nr+1,g[pos2]) - r;
int pos3 = lower_bound(b+1,b+nb+1,g[pos2]) - b;
if(pos3>nb) pos3 = nb;
else if(b[pos3] > g[pos2]) pos3--;
if(!pos1||!pos3|| pos1 > nr) continue;
ans = min(ans,qiu(r[pos1],g[pos2],b[pos3]));
}
}
int main()
{
int T;
cin>>T;
while(T--){
scanf("%d%d%d",&nr,&ng,&nb);
for(int i = 1;i<=nr;i++) scanf("%lld",&r[i]);sort(r,r+nr+1);
for(int i = 1;i<=ng;i++) scanf("%lld",&g[i]);sort(g,g+ng+1);
for(int i = 1;i<=nb;i++) scanf("%lld",&b[i]);sort(b,b+nb+1);
ans = qiu(r[1],g[1],b[1]);
solve(r,nr,g,ng,b,nb);
solve(g,ng,b,nb,r,nr);
solve(b,nb,r,nr,g,ng);
solve(r,nr,b,nb,g,ng);
solve(g,ng,r,nr,b,nb);
solve(b,nb,g,ng,r,nr);
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
CF #635（div1）A. Linova and Kingdom
如果k很小，那就是树型dp的题目了，然而这k好大，怎么办
我也不知道怎么办，只好去贪心做
如果k=1，那我就把深度最大的节点变成A节点，那该A节点的贡献就等于该A节点的深度
考虑选多个A节点的情况，当把一个节点变成A节点，该节点的贡献为深度，同时以该节点为子树，子树中的所有A节点（除子树,根节点外）的贡献减一，
那么我就把这个A节点的贡献用 深度 - （子树中A节点个数-1）来计算，
可以发现，要把一个节点变成A节点，一定是先把其子树内的所有节点变成A节点是更优的，
证明：如果选了K个A节点，当这K个A节点中存在一个A节点可以移动到儿子节点（即把这个A节点变成B节点，它的一个儿子节点变成A节点），那么如果把这个A节点移动到儿子节点，贡献一定会增加，
所以，这种状态一定不是最优的。
所以我们每次选择一个节点，可以认为其子树内的所有节点都已经是A节点，这样该节点的贡献就为 深度 - （子树大小-1），
做法就是，对每个节点计算它的贡献（深度 - 子树大小 + 1），然后对贡献排序，计算前K大的所有贡献之和。
如何思考该题？
先考虑K很小的情况，然后自己想想怎么选好，就能得出先选深度大的，然后发现自己选出的所有的节点，其子树中的节点都是A节点，可以猜就是这样贪心的，
这样贪心以后，不难计算出每个节点变成A节点带来的贡献，然后排序即可
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 7;
struct EDGE {
int to, next;
}edge[MAXN*2];
int head[MAXN], tot = 0;
void add(int u, int v) {
tot++;
edge[tot].to = v;
edge[tot].next = head[u];
head[u] = tot;
}
int deep[MAXN],siz[MAXN],gong[MAXN];
void dfs(int s, int fa) {
siz[s] = 1;
for (int i = head[s]; i; i = edge[i].next) {
int po = edge[i].to;
if (po == fa)continue;
deep[po] = deep[s] + 1;
dfs(po, s);
siz[s] += siz[po];
}
gong[s] = deep[s] - siz[s] + 1;
}
bool cmp(int x, int y) {
return y < x;
}
int main()
{
int n, k;
cin >> n >> k;
int u, v;
for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
scanf("%d%d", &u, &v);
add(u, v);
add(v, u);
}
deep[1] = 0;
dfs(1, 0);
long long ans = 0;
sort(gong + 1, gong + n + 1, cmp);
for (int i = 1; i <= k; i++) {
ans += (long long)gong[i];
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
CF 1468J Road Reform
怎么选？
这里是要选出一颗树，有个算法也是选出一颗树的，叫最小生成树
那就很好办了，做过次小生成树的，知道一个常用的结论：先造一个最小生成树，然后再任加一条边，再删去一条边，就得到另一棵树
这题也是一样，我们先造一个最小生成树，记最小生成树里的最大权值边的权值为MA
如果MA>=K,就把这棵树所有权值大于K的边的权值减为K
如果MA<K,则在剩下的边里找到最接近K的边，这条边的权值记为DA，则ans = abs(DA-K)， 原因是我在这棵树里加了DA这条边，变成了基环树，然后又在基环树的环里删掉一条边，就得到了一颗树，这棵树的n-2条边的权值都是<=MA<K的，而权值最大的边的权值为DA
这里推荐一题：次小生成树（洛谷上搜）。
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 2e5 + 7;
struct EDGE {
int u,v,w;
}edge[MAXN];
int par[MAXN];
int find(int x) {
if (par[x] == x) return x;
return par[x] = find(par[x]);
}
bool cmp(EDGE a, EDGE b) {
return b.w > a.w;
}
int main()
{
int T, n, m, k;
cin >> T;
while (T--) {
cin >> n >> m >> k;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
par[i] = i;
}
int u, v, w;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
}
sort(edge + 1, edge + m + 1, cmp);
int ma = 0;
long long ans = 0;
for (int i = 1,e = 0; e < n - 1; i++) {
u = edge[i].u, v = edge[i].v, w = edge[i].w;
int fa = find(u), fb = find(v);
if (fa == fb) continue;
par[fb] = fa;
e++;
ma = max(ma, w);
if (w > k) {
ans += (long long)(w - k);
}
}
if (ma >= k) cout << ans << endl;
else {
ans = (long long)k - ma;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
ans = min(ans, (long long)abs(edge[i].w - k));
}
cout << ans << endl;
}
}
return 0;
}
牛客9981C 红和蓝
该从哪里选颜色？
关键是发现叶子节点一定与父节点同色
然后是爆搜每个叶子节点的颜色？这样复杂度太大
结论：这种题应该尽可能确定更多的关系，再确定颜色
我们发现了叶子节点与父节点同色这一点，所以就设same[i]来表示其与父节点是同色还是异色，这样以关系为状态，推出更多的关系
代码：
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 7;
struct EDGE {
int to, next;
}edge[MAXN * 2];
int head[MAXN], tot = 0;
int n;
void add(int u, int v) {
tot++;
edge[tot].to = v;
edge[tot].next = head[u];
head[u] = tot;
}
int fa[MAXN], siz[MAXN], same[MAXN];
bool flag = true;
int color[MAXN];
void dfs(int s, int f) {
siz[s] = 1;
int cnt = 0;
for (int i = head[s]; i; i = edge[i].next) {
int po = edge[i].to;
if (po == f) continue;
fa[po] = s;
dfs(po, s);
siz[s] += siz[po];
if (same[po] == 1) {
cnt++;
}
}
if (cnt == 1) same[s] = -1;
else if (cnt == 0) same[s] = 1;
else flag = false;
if (siz[s] == 1) {
same[s] = 1;
}
}
void lan(int s) {
for (int i = head[s]; i; i = edge[i].next) {
int po = edge[i].to;
if (po == fa[s]) continue;
if (same[po] == 1) {
color[po] = color[s];
}
else {
color[po] = 1 - color[s];
}
lan(po);
}
}
int main()
{
cin >> n;
int u, v;
for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
scanf("%d%d", &u, &v);
add(u, v);
add(v, u);
}
dfs(1, -1);
if (flag && same[1] != 1) {
color[1] = 1;
lan(1);
for (int i = 1; i <= n; i++) {
if (color[i] == 1) printf("R");
else printf("B");
}
printf("\n");
}
else cout << "-1\n";
return 0;
}
