ABC478 题解

A

题意
有 \(N\) 个人，\(M\) 个葡萄。按 \(1,2,\dots,N\) 的顺序循环分发，每人每次 1 个，直到分完。求每人最终得到多少个葡萄。

思路
先计算完整轮数：full = M / N，再计算剩余葡萄数：rem = M % N。
前 rem 个人会多得到 1 个葡萄。
因此第 \(i\) 个人的葡萄数为 full + (i <= rem ? 1 : 0)。

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B

题意
有 \(N\) 种配料，第 \(i\) 种价格为 \(i\)，幸福度为 \(W_i\)。选择恰好 3 种不同配料，总价格不超过 \(V\)，求最大总幸福度。保证至少存在一种方案。

思路
\(N \le 100\)，直接三重循环枚举所有三元组 \((i,j,k)\)，满足 \(i<j<k\) 且 \(i+j+k \le V\)，计算幸福度之和并取最大值。

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C

题意
给定长度为 \(N\) 的序列 \(A\)。可以恰好选择一个长度为 \(K\) 的连续子数组，将其升序排序一次。问能否使整个序列非降序。

思路

1. 将 \(A\) 复制为 \(B\) 并升序排序。
2. 若 \(A\) 已与 \(B\) 相同，输出 Yes。
3. 否则找出 \(A\) 与 \(B\) 不同的最左位置 \(L\) 和最右位置 \(R\)。
4. 必须满足 \(R-L+1 \le K\)，否则不可能一次排序覆盖所有不同点。
5. 还需存在一个长度为 \(K\) 的区间 \([i, i+K-1]\) 完全覆盖 \([L, R]\)，即
   \[\max(1, R-K+1) \le i \le \min(L, N-K+1) \]
   若该范围非空，输出 Yes，否则 No。

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D

题意
有 \(N\) 个集合初始为空。进行 \(Q\) 次操作，每次给出 \(L,R,X\)，向第 \(L\) 到第 \(R\) 个集合中加入元素 \(X\)。求所有操作结束后每个集合的元素个数。

思路
不同 \(X\) 之间互不影响。对每个 \(X\)，收集它出现的所有区间 \([L,R]\)。
将这些区间按左端点排序并合并重叠区间。
对合并后的每个区间，用差分数组在 \(L\) 处 \(+1\)，在 \(R+1\) 处 \(-1\)。
最后对所有 \(X\) 的差分数组求和，前缀和即为每个集合的元素个数。

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E

题意
有 \(N\) 个变量 \(A_1,\dots,A_N\)，每个取值在 \([1,N]\)。
给出 \(Q\) 个条件：

• \(t=0\)：\(A_u \le A_v\)
• \(t=1\)：\(A_u < A_v\)
  判断是否存在满足所有条件的整数序列，若存在输出任意一组。

思路
将条件转化为有向边：

• \(A_u \le A_v\) 对应边 \(u \to v\)，权值 \(0\)。
• \(A_u < A_v\) 对应边 \(u \to v\)，权值 \(1\)（即 \(A_v \ge A_u + 1\)）。

用 Tarjan 求强连通分量。

• 若存在 \(t=1\) 的边且两端在同一 SCC 内，则矛盾，输出 No。
• 否则缩点得到 DAG。

在 DAG 上求最长路：初始所有 SCC 的值为 1，用优先队列按最长路更新，得到每个 SCC 的最小合法值。
每个变量输出其所属 SCC 的值即可。