数论

一、 费马小定理

1. 定义：

       假如有p是个质数，并且有一个a与p互质，那么a^(p-1)≡1（mod p）；

2. 证明：

       用同余来做
   
       先找出mod p的完全剩余系0、1、2、3、4……p-2、p-1；
       再找一个与p互质的a。
   
       a*mod p的完全剩余系得到的p个数mod p 后 也是mod p的完全剩余系（由完全剩余系的性质二：若ai(1≦i≦n)构成模n的完系，k、m∈Z，gcd(m,n)=1，则   也构成模n的完系）
   
       那么mod p的完全剩余系的连乘积（除0以外）为（p-1）！之后的a*mod p的完全剩余系得到的p-1个数（除0）提取（p-1）个a之后的连乘积为a^(p-1)*(p-1)!
   
       所以a^(p-1)*(p-1)!≡(p-1)! (mod p)
   
       ∴a^(p-1)≡1(mod p)(由同余除法可得：若 ，则 ，当   gcd（c，m）=1时，为a≡b（mod m）)

   3.应用

       用于模数为质数是求乘法逆元；
    a*b≡1（mod p）   
   
    b=a^(q-2);