三、总结：遍历顺序的核心逻辑

场景 遍历顺序要求 核心原因
01背包（二维dp） 先物品/先容量均可，容量正序 依赖上一行数据，无覆盖问题
01背包（一维dp） 先物品，后容量，容量倒序 避免覆盖上一行数据，保证物品只选一次
完全背包（最大价值） 先物品/先容量均可，容量正序 允许覆盖当前行数据，实现物品重复选择
完全背包（组合数） 外层物品，内层容量 固定物品顺序，避免重复计数
完全背包（排列数） 外层容量，内层物品 每个容量尝试所有物品作为最后一步，生成不同顺序的方案

本质上，遍历顺序的设计都是为了匹配问题的约束（选一次/选多次）和目标（价值/方案数/组合/排列），核心是理解「状态转移时依赖的数据是否会被提前覆盖」。
https://niumacode.com/article/20

完全背包即在0-1背包的基础上，可以重复选择
不同点：

  • 一个是i-1和i
  • 还有纯完全内外循环随便（背包容量和weight），但有时候必须是其中一种，比如：https://kamacoder.com/problempage.php?pid=1067
  • 循环的起始点不一定，可以根据题意，再在循环里做判断条件递归
  • 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
    如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

即在遍历i的每层中，j扩大到>=weights[i]时，

  1. 在01时，

价值最大化max(两个选择)：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i-1][j - weight[i]] + value[i]);

  • 不选i，dp[i][j]=dp[i-1][j]
  • 选i，dp[i][j]=dp[i-1][j - weight[i]] + valuei
    最大组合数：dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - nums[i]]
  1. 而在完全背包，即使在j>=weights[i]后，空出一个weights[i]后，前面仍可能有i，故i不变：
    价值最大化：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - weight[i]] + value[i]);
    最大组合数：dp[i][j] = dp[i - 1][j]+dp[i][j - weight[i]] ;
    组合树的递推与value无关

初始化
在第一列都为0，装不下
第一行则正序遍历，如果能放下就一直装物品0
其他可以直接初始化为0.

// 初始化 价值最大化dp
vector<vector<int>> dp(weight.size(), vector<int>(bagweight + 1, 0));
for (int j = weight[0]; j <= bagWeight; j++) {
    dp[0][j] = dp[0][j - weight[0]] + value[0]; 
}

循环遍历：对于纯完全背包问题，其for循环的先后循环是可以颠倒的！
但如果题目稍稍有点变化，就会体现在遍历顺序上。
如果问装满背包有几种方式的话？ 那么两个for循环的先后顺序就有很大区别了

先遍历物品再遍历背包：

for(int i = 0; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
if (j - weight[i] >= 0) dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);
}
}
最大组合数例子：https://leetcode.cn/problems/coin-change-ii/

class Solution {
public:
    //多重背包的最大组合数问题，用加法且不加value
    //故递推公式为dp[i][j]=dp[i-1][j]+(dp[i][j-weight[i]])
    //简化为一维数组则为dp[j]+=dp[j-weights[i]]

    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        
        vector<uint64_t> dp(amount+1,0);
        dp[0]=1;//即什么都不选也是一种方案
        for(int i=0;i<coins.size();i++){
            for(int j=coins[i];j<=amount;j++){
                dp[j]+=dp[j-coins[i]];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};