倍增 LCA

倍增 \(LCA\)

用途

对树 \(O(n)\) 预处理后，可以在 \(log(n)\) 内查询任意两点的 \(LCA\)。

讲解

定义

跳跃

vector<array<int, LOG + 1>> jump(n + 1);

\(jump_{u,i}\) 表示 \(u\) 向上跳 \(2^i\) 后点的编号。

深度

vector<int> dep(n + 1);

\(dep_u\) 表示 \(u\) 点的深度，我们认为根节点深度为 \(1\)。

实现过程

\(DFS\) 预处理

function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int fa) -> void {
    dep[u] = dep[fa] + 1;
    jump[u][0] = fa;
    for (int i = 1; i <= LOG; i++) {
        jump[u][i] = jump[jump[u][i - 1]][i - 1];
    }
    for (auto v : adj[u]) {
        if (v == fa)
            continue;
        dfs(v, u);
    }
};

由于 \(2^{i-1}\ + \ 2^{i-1} \ = \ 2^i\)

所以有:

\[\Large jump_{u,i} = jump_{jump_{u,i-1},i-1} \]

求 \(LCA\)

function<int(int, int)> lca = [&](int u, int v) -> int {
    if (dep[u] < dep[v])
        swap(u, v);
    for (int i = LOG; i >= 0; i--) {
        if (dep[jump[u][i]] >= dep[v])
            u = jump[u][i];
    }
    if (u == v)
        return u;
    for (int i = LOG; i >= 0; i--) {
        if (jump[u][i] != jump[v][i])
            u = jump[u][i], v = jump[v][i];
    }
    return jump[u][0];
};

为了方便实现，固定 \(u\) 的深度更大。

首先让 \(u\) ， \(v\) 两点跳到同一深度，接着一起上跳直到重合即可。

STD

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int LOG = 23;
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int n, m, s;
    cin >> n >> m >> s;
    vector<vector<int>> adj(n + 1);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        adj[u].push_back(v);
        adj[v].push_back(u);
    }
    vector<array<int, LOG + 1>> jump(n + 1);
    vector<int> dep(n + 1);
    function<void(int, int)> dfs = [&](int u, int fa) -> void {
        dep[u] = dep[fa] + 1;
        jump[u][0] = fa;
        for (int i = 1; i <= LOG; i++) {
            jump[u][i] = jump[jump[u][i - 1]][i - 1];
        }
        for (auto v : adj[u]) {
            if (v == fa)
                continue;
            dfs(v, u);
        }
    };
    function<int(int, int)> lca = [&](int u, int v) -> int {
        if (dep[u] < dep[v])
            swap(u, v);
        for (int i = LOG; i >= 0; i--) {
            if (dep[jump[u][i]] >= dep[v])
                u = jump[u][i];
        }
        if (u == v)
            return u;
        for (int i = LOG; i >= 0; i--) {
            if (jump[u][i] != jump[v][i])
                u = jump[u][i], v = jump[v][i];
        }
        return jump[u][0];
    };
    dfs(s, 0);
    while (m--) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        cout << lca(u, v) << '\n';
    }
}