算法导论： 第5章

5.1-2 生成Random(a,b)

    运行b-a次Random(0,1),累加和，最后再加a。利用公式F(z) = w解出z即可，其中F(z)为目标分布，w为区间0-1内的均匀分布。

5.1-3 等概率生成0和1

   Biased-Random 以概率p输出1，以概率1-p输出0，

  则1-Biased-Random 以概率p输出0，以概率1-p输出1

  则调用Biased-Random后接着调用1-Biased-Random，出现的概率为

   调用结果　　　　00　　　　　　01　　　　　 10　　　　11

   出现概率　   (1-p)*p　　  (1-p)*(1-p)　　   p*p　　  p*(1-p)

则1出现的期望E[1] = (1-p)*(1-p) + p*p + 2*p*(1-p) = 1;

  0出现的期望E[0] = 2(1-p)*p + (1-p)*(1-p) + p*p = 1;

故调用一次（Biased-Random） + （1-Biased-Random）就可以让0和1出现的概率相等。连续调用这个组合，统计0和1出现的个数，直到它们出现的个数不相等。此时输出出现次数多的那个。每次调用产生0和1个个数相等的概率为1-2*p*(1-p)。伯努利实验期望为O(1/(1-2*p*(1-p)))

网上还有另外一种解法：运行Biased-Random两次产生x和y，连续运行直到两个数不等，然后输出x。显然，产生0的概率为(1-p)*p，产生1的概率为p*(1-p)，二者产生概率相等。每次产生两个不等的数，说明实验成功，故是一个2*p*(1-p)概率的伯努利实验，期望为O(1/2*p*(1-p))。

但由于2*p*(1-p)<1/2，所以后者的期望大，故后者用的次数更少。

5.3-5 Random(1,n^3)所有元素都唯一的概率至少为1-1/n

参见http://photo.blog.sina.com.cn/list/blogpic.php?pid=932e6e55hc37388f5a11d&bid=932e6e5501015a80&uid=2469293653

5.1 概率计数

(a)令Vn表示n次自增操作后的值，令Xi表示i次自增操作后自增后和自增前数值的差，则有Vn = X1 + X2 + ... + Xn。

而E[Xi] = 0*(1-1/(n(i+1)-n(i))) + (n(i+1)-n(i))*(1/(n(i+1)-n(i))) = 1。得E[Vn] = n。

(b)n(i) = 100i，则n(i+1)-n(i) = 100；概率为1/100 。

则Var[Xi] = E[Xi^2] - E[Xi]^2 = (0^2*99/100) + (100^2) *1/100 - 1^2 = 99。

故Var[Vn] = 99n;