相位/增益/裕度

相位裕度 增益裕度——运放电路的稳定性

 

 

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相位裕度定义：在运放开环增益和开环相移图中，当运放的开环增益下降到1时，开环相移值减去-180°得到的数值。

增益裕度定义：在运放开环增益和开环相移图中，当运放的开环相移下降到-180°时，增益dB值取负，或者是增益值的倒数。

 

以 Analog Device 公司的运算放大器 AD8675 为例，讲了怎样从相关图表中求出相位裕度和增益裕度。

AD8675 手册中 Figure 12，即为运放的开环增益和相位裕度与信号频率的关系。如图1。

图1 AD8675 Figure12 Gain and Phase vs. Frequency

图1中，较细的曲线即增益曲线，较粗的曲线即为相位裕度曲线。我们用增益曲线求取相位裕度，用相位裕度曲线求取增益裕度。

对于增益曲线，找到曲线上增益值为 0dB 的点（蓝色点），相对于频率轴做一垂线，与相位裕度曲线相交于一点，该点对应的相位裕度的值（55°），即是该运放的“相位裕度”，记作 $\mathrm{PMPM或 \varphi m\varphi m 。}$

对于相位裕度曲线，找到曲线上相位裕度为 0° 的点（绿色点），相对于频率轴做一垂线，与增益曲线相交于一点，该点对应的增益值为 -9dB，该值的相反数 9dB，即为该运放的“增益裕度”，记作 $\mathrm{GMGM 或 hh 。由分贝值的定义，\; -9dB\; 对应的增益数值为\; 0.355倍，0.355\; 的倒数\; 2.818\; 倍，即是运放的“增益裕度”。（注： 20log(2.818)=920log(2.818)=9 ）}$

（二） 为什么要谈相位裕量、增益裕量的问题

相位裕量和增益裕量这两个概念是在分析系统或电路的频率特性时涉及到的概念，用来度量系统的相对稳定性，即稳定程度。

系统或运放电路引入负反馈的优点很多，但付出的代价之一就是系统可能出现振荡状态。

可以想象的一个不稳定的状态是，当输出相移成为 -180° ，负反馈就会变成正反馈，在有足够的环路增益的情况下，输出振荡，进入不稳定的工作状态。

（三） 对 AD8675 手册中 Figure 12 坐标轴的解释

也许会有人问，按照定义求取两个裕度值的时候，不应该是找到开环增益为 1 和开环相移为 -180° 的点吗？为什么在第一段中求裕度时找的是 0dB 和 0° 的点？

这里解释两点。

3.1 关于增益裕量的定义

分贝（dB）是一个很有意思的概念。我们在生活中经常听到这个词是关于声音强度的描述。其实，在电子学、射频、自动控制等领域也经常会使用分贝概念。在本文中涉及到的是放大器的增益的概念。假设运放电路的增益为 (A) ，那么该增益对应的分贝（dB）值为$$\mathrm{Gain=20\cdot log(A)dBGain=20\cdot log(A)dB \; （公式1）}$$

所以，相位裕度定义中要找开环增益为 1 的点，也就是 0dB 的点。

在（公式1）中为什么会有一个系数，并且系数会是 20 呢？这个问题以后解释。

3.2 关于相位裕量定义

我们应该注意到，在图1中，关于相位的坐标轴名称是“PHASE MARGIN”，即“相位裕度”，而不是“相移”。

相移（ $\mathrm{\Delta \phi \Delta \phi ）是指运放输出信号与输入信号之间的相位差。相位裕度（ PMPM ）和相移具有一定的关系PM=180\circ +\Delta \phi PM=180\circ +\Delta \phi \; （公式2）}$

所以，增益裕度定义中要找开环相移为 -180° 的点，也就是相位裕度为 0° 的点。

另外，我们也可以从另外的角度看这个问题。我们知道：

对于所有运放，在任何频率下，都只存在滞后的相移，即相移为负值。

在频率很低的地方，相移（$\mathrm{\Delta \phi \Delta \phi ）接近\; 0°，随着频率增大，相移（\Delta \phi \Delta \phi ）也逐渐增加，逐渐增大到\; -90°\; ，\; -180°\; ，甚至\; -270°\; 。}$

如果用相移轴替代相位裕度轴，图1应改为图2形式。

图2  AD8675 Figure12 Gain and Phase vs. Frequency

对于增益曲线，找到曲线上增益值为 0dB 的点，相对于频率轴做一垂线，与相移曲线相交于一点，该点对应的相移的值（-125°），按照公式2，可以求出所以相位裕度为 $\mathrm{PM=180\circ +(-125\circ )=55\circ PM=180\circ +(-125\circ )=55\circ 。}$

（四） 相位裕度、增益裕度的严格定义及物理意义

先讲个结论：相位裕度和增益裕度越大，说明放大器约容易稳定。

相关定义：

在运放电路或是自动控制系统中，都引入了负反馈闭环系统的概念。闭环系统框图如图3.

图3 负反馈系统框图

前向传递函数：$$\mathrm{G(s)G(s)}$$

反馈网络传递函数：$$\mathrm{H(s)H(s)}$$

开环传递函数：$$\mathrm{T(s)=G(s)H(s)T(s)=G(s)H(s)}$$

闭环传递函数：$$\mathrm{A(s)=G(s)1+G(s)H(s)=G(s)11+T(s)=1H(s)11+1/T(s)A(s)=G(s)1+G(s)H(s)=G(s)11+T(s)=1H(s)11+1/T(s)}$$

对于一般系统来说，前向增益相当大，若反馈系统有界，那么在理想情形下，有$$\mathrm{T\to \infty T\to \infty }$$

理想闭环传递函数：$${\mathrm{Aideal(s)=1H(s)Aideal(s)=1H(s)}}^{}$$

误差函数：$$\frac{{\mathrm{AsAideal(s)=11+1/T(s)AsAideal(s)=11+1/T(s)}}^{}}{}$$

在系统输入某信号时，产生的响应分为暂态分量和与输入信号频率、相位、幅值相关的稳态分量。数学上，我们在研究系统频率特性的时候，只需要用 $\mathrm{j\omega j\omega 或 j2\pi fj2\pi f 替代 ss 算子。}$

4.1 相位裕度的定义及其物理意义

假设系统的截至频率是  ${\mathrm{\omega c\omega c \; ，那么在截止频率处，系统开环增益|T(\omega c)|=|G(\omega c)H(\omega c)|=1|T(\omega c)|=|G(\omega c)H(\omega c)|=1}}^{}$

定义相位裕度为$${\mathrm{\varphi m=180\circ +\angle (T(j\omega c))\varphi m=180\circ +\angle (T(j\omega c))}}^{}$$

这也是第一部分中求取相位裕度的方法。

根据上述分析，我们令$$\mathrm{T(j2\pi fc)=1\angle (\varphi m-180\circ )=ej(\varphi m-180\circ )=-ej\varphi mT(j2\pi fc)=1\angle (\varphi m-180\circ )=ej(\varphi m-180\circ )=-ej\varphi m}$$

那么误差函数$$\frac{\mathrm{11+1/T(j2\pi fc)=11-e-j\varphi m11+1/T(j2\pi fc)=11-e-j\varphi m}}{}$$

系统闭环增益为

$$=|Aideal(j2\pi fc)|1\surd (1-cos\varphi m)2+sin2\varphi m=|Aideal(j2\pi fc)|1(1-cos\varphi m)2+sin2\varphi m$$

如果 ${\mathrm{\varphi m=90\circ \varphi m=90\circ ，闭环增益误差函数值为\; 0.707；}}^{}$

如果 ${\mathrm{\varphi m=60\circ \varphi m=60\circ ，闭环增益误差函数值为\; 1；}}^{}$

如果 ${\mathrm{\varphi m=45\circ \varphi m=45\circ ，闭环增益误差函数值为\; 1.31；}}^{}$

如果 ${\mathrm{\varphi m=30\circ \varphi m=30\circ ，闭环增益误差函数值为\; 1.93；}}^{}$

如果 ${\mathrm{\varphi m=15\circ \varphi m=15\circ ，闭环增益误差函数值为\; 3.83；}}^{}$

如果 ${\mathrm{\varphi m=1\circ \varphi m=1\circ ，闭环增益误差函数值为\; 57.3；}}^{}$

如果 ${\mathrm{\varphi m=0\circ \varphi m=0\circ ，闭环增益误差函数值为 \infty \infty ；}}^{}$

事实上，如果闭环误差函数的模大于 1 时，也就是 $|A(j2\pi fc)|>|Aideal(j2\pi fc)||A(j2\pi fc)|>|Aideal(j2\pi fc)| ，此时的闭环响应必有峰值。并且如果相位裕度 \varphi m\varphi m 越小，峰值越大，相位裕度 \varphi m\varphi m 为\; 0\; 时，峰值趋于无穷大，闭环系统变得不稳定。$

总结一下，相位裕度的物理含义：

对于一个稳定的闭环电路，如果系统开环相频特性再滞后 $\mathrm{PMPM 或 \varphi m\varphi m 度，闭环系统将会进入临界稳定状态。临界稳定状态也就是开环相移为\; -180°\; 的状态。}$

${\mathrm{\varphi m>0\varphi m>0 时，闭环系统稳定；}}^{}$

${\mathrm{\varphi m<0\varphi m<0 时，闭环系统不稳定；}}^{}$

${\mathrm{\varphi m=0\varphi m=0 时，闭环系统处于临界稳定状态。}}^{}$

4.2 增益裕度的物理意义

假设系统的穿越频率是 ${\mathrm{\omega x\omega x ，那么在穿越频率的相角\phi (\omega x)=\angle (T(\omega x))=(2k+1)\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots \phi (\omega x)=\angle (T(\omega x))=(2k+1)\pi ,k=0,\pm 1,\pm 2,\cdots }}^{}$

当然对运放电路来说，$$\mathrm{\phi (\omega x)=\angle (T(\omega x))=-\pi \phi (\omega x)=\angle (T(\omega x))=-\pi }$$

定义增益裕度为$$\mathrm{h=1|T(j\omega x)|=1|G(j\omega x)H(j\omega x)|h=1|T(j\omega x)|=1|G(j\omega x)H(j\omega x)|}$$

在对数坐标下，增益裕度定义为

$$\mathrm{h(dB)=20log101|T(j\omega x)|h(dB)=20log101|T(j\omega x)|}$$

$$=-20log10|G(j\omega x)H(j\omega x)|=-20log10|G(j\omega x)H(j\omega x)|$$

这也是第一部分中求取增益裕度的方法。

在穿越频率 ${\mathrm{\omega x\omega x 处，开环相移为\; -180°，那么开环增益一定是小于零的实数。因为T(j\omega x)=|T(j\omega x)|e-j\pi <0T(j\omega x)=|T(j\omega x)|e-j\pi <0}}^{}$

此时闭环系统的传递函数为$$\mathrm{A(j\omega x)=G(j\omega x)1+T(j\omega x)A(j\omega x)=G(j\omega x)1+T(j\omega x)}$$

如果$$|T(j\omega x)|=1|T(j\omega x)|=1那么闭环传递函数 A(j\omega x)\to \infty A(j\omega x)\to \infty \; 。$$

这种情况下， ${\mathrm{xf=-xdxf=-xd ，即使电路没有任何输入信号，某一噪声分量的激发下，电路也会维持一个输出信号。电路发生了振荡，进入不稳定的工作状态。}}^{}$

总结一下，增益裕度的物理含义：

对于一个稳定的闭环电路，如果系统开环幅频特性再增大 $\mathrm{GMGM 或 hh 倍，闭环系统将进入临界稳定状态。临界稳定状态也就是开环相移为\; -180°\; ，且增益为1的状态。}$

$\mathrm{h<1h<1 或 h(dB)>0h(dB)>0 ，闭环系统稳定；}$

$\mathrm{h>1h>1 或 h(dB)<0h(dB)<0 ，闭环系统不稳定；}$

$\mathrm{h=1h=1 或 h(dB)=0h(dB)=0 ，闭环系统处于临界稳定状态。}$

4.3 补充

在研究相位裕度和增益裕度的时候，总绕不开的一个东西就是“相移 -180° ”。所以在实际判断系统或电路的稳定性时，只需要从相位的角度判断即可。相位条件的成立是系统稳定的充分必要条件。

（五） 研究相位裕度和增益裕度有啥用？

既然相位裕度和增益裕度都属于系统稳定裕度的概念，我们研究这两个概念自然是为了研究系统或者电路的稳定性。

当我们了解了导致系统不稳定的条件后，可以利用频率补偿的技术，使系统或电路保持稳定。另外，我们也可以利用临界稳定的条件来设计某些类型的振荡器或信号发生器。