集训笔记——杂题选讲（图论，dp)
2020年3月4日更新
开课常规讲上一节课的题：
课件讲解：
然后今天开始了讲题的旅程：
（讲思路）
1.
https://nanti.jisuanke.com/t/43380
• 给n(n<=2500)个点两两之间的距离，现已知原图为一棵无向树，现在让你还原。
• 可能的图有很多种，输出一种就行。
讲解：
• 一种可能的图：对所有距离进行排序，不难发现两两之间的距离最小的两个点之间肯定有一条边，边权即为距离。
• 接下来的要么是两点之间有边，边权为距离，要么就是已经连好了，不需要你管，而因为连好的边已经是尽可能的最小了，所以一定满足条件。
2.
https://nanti.jisuanke.com/t/43513
• 给一个只有二十个字母的字符串，长度<=3e5，要求取出其中的连续一段之后能够重排得到一个回文串，求这个回文串最长为多少？
讲解：
• 判断一个区间是否能组成回文串有两种条件：
• 1.长度为偶数，每种字符出现次数为偶数
• 2.长度为奇数，除一种字符以外每种字符出现次数为偶数
• 为第i种字符赋值为1<<i>>1，然后算出亦或前缀和xor，可以发现一个符合要求的区间[l,r]满足：
• 1.xor[r]^xor[l-1]=0且区间长度为偶数
• 2.xor[r]^xor[l-1]=1<<l>>1，1<=l<=20且区间长度为奇数
• 不难发现两种情况可以合并成为：
• xor[r]^xor[l-1]=1<<l>>1，0<=l<=20
• 另外一个有趣的性质是xor的大小不会超过1<<20
• 那么做法就是存储每种xor值第一次出现的点，然后对于一个xor[r]来说，找到一个xor值使得亦或后为1<<l>>1，复杂度为20n
（此题ROS还需理解）
3.洛谷P4942 小凯的数字
• 不难发现那个大数=l*10^?+(l+1)*10^?+...
• 对它mod 9相当于对l+(l+1)+(l+2)+...+r mod
9
• 等差数列求和
4.洛谷P3799 妖梦拼木棒
• 有n根木棒，现在从中选4根，想要组成一个正三角形，问有几种选法？
• N<=100000，长度<=5000
讲解：
• 显然我们要找两个相同长度的木棒，然后再找两根长度加起来等于上面长度的木棒。
• 发现长度很小，于是暴力枚举两根木棒的长度，然后组合数计算一下即可。
5.洛谷P3197 [HNOI2008]越狱
• 监狱有连续编号为 1…N 的 N 个房间，每个房间关押一个犯人，有 M 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。如果相邻房间的犯人的宗教相同，就可能发生越狱，求有多少种状态可能发生越狱。
这道题ROS自己按照思路手敲了一下。
但还是按照惯例把ppt内的讲解crtl+v一下吧
• 不妨考虑有多少种状态不会越狱。
• M*(M-1)*(M-1)……
ROS讲解：
首先先求一下所有的可能性：M^N（^为求次方的符号） ①
然后我们发现求有多少种状态不会越狱比较难。
那就“正难则反”不就好了！
求一下有多少种情况会越狱。
对于一种排布来说只有会越狱和不会越狱两种情况。
所以不会越狱的情况数=总情况数-会越狱的情况数
好的我们来看怎么求会越狱的情况数。
根据乘法原理有：
对第一个人来说他有M种宗教可以选择
对第二个人来说他不能选择和第一个人一样的宗教所以有M-1种宗教可以选择
对第三个人来说他不能选择和第二个人一样的宗教所以有M-1种宗教可以选择
.
.
.
所以根据乘法原理有：
会越狱的情况数：N*(M-1)^(N-1)（^为求次方的符号） ②
所以用①-②就好了！
是不是很简单！
好的ROS到洛谷上敲这道题的代码，第一次10分。。。。
原来取模没有对每个结果都取导致了溢出（或者得到负数结果）的问题。
好的对每个结果取模改一下。
然后第二次提交70分。
这又是什么情况?
最后上讨论一看发现是c++的玄学取模导致的，我们需要在最后一步（输出答案的一步）把原先的((ksm(m,n)%esp)-((ksm(m-1,n-1)%esp)*m))%esp改成((ksm(m,n)%esp)-((ksm(m-1,n-1)%esp)*m)%esp+esp)%esp防止出现玄学负数解
整体AC代码：
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define esp 100003 3 #define ll long long 4 using namespace std; 5 ll m,n; 6 ll ksm(ll a,ll b){ 7 if(a==1||a==0) return a; 8 if(b==1) return a; 9 if(b==0) return 1; 10 ll tmp=ksm(a,b/2); 11 if(b&1) return (tmp%esp)*(tmp%esp)%esp*(a%esp)%esp; 12 return (tmp%esp)*(tmp%esp)%esp; 13 } 14 int main(){ 15 scanf("%lld%lld",&m,&n); 16 printf("%lld",((ksm(m,n)%esp)-((ksm(m-1,n-1)%esp)*m)%esp+esp)%esp); 17 return 0; 18 }
代码量少但是思维含量还是有的。
6.洛谷P6033 合并果子 加强版
• n堆果子，每次合并两堆，代价为两堆果子数量之和
• 问最小代价把所有果子合并为一堆
ppt讲解：
• n堆果子，每次合并两堆，代价为两堆果子数量之和
• 问最小代价把所有果子合并为一堆
• 一个显然的贪心！每次合并最小的两堆。
• 证明并不显然，要用到哈夫曼树的结论，总之就不证了，感兴趣可以自己去查一下。
• 毕竟选这道题的目的不是为了这个
• n堆果子，每次合并两堆，代价为两堆果子数量之和
• 问最小代价把所有果子合并为一堆
• 由于a很小我们可以进行O(n)的排序，可问题是n<=1e7我要怎么做才能每次都拿出两个最小的果子？
• 不难发现，我们每次合并出来的果子的大小是递增的。
• 于是原果子堆一个队列，新果子堆一个队列，就可以保证队列的单调性。
• n堆果子，每次合并两堆，代价为两堆果子数量之和
• 问最小代价把所有果子合并为一堆
• 由于a很小我们可以进行O(n)的排序，可问题是n<=1e7我要怎么做才能每次都拿出两个最小的果子？
• 不难发现，我们每次合并出来的果子的大小是递增的。
• 于是原果子堆一个队列，新果子堆一个队列，就可以保证队列的单调性。
课后作业：
1.P2827 蚯蚓
• 先说一句，优先队列会被卡常TLE
2.
https://nanti.jisuanke.com/t/43514
• 请大家自己翻译
• 可以告诉大家这题是一道大模拟
• 讲的话没什么意思，但是到时候打算问一些同学一些实现上的细节。
