一些性质及公式

性质篇：

1.c++中主函数可以递归调用。

 

2.c++中定义数组后，调用a[1]和1[a]效果完全一样。

 

3.只有一个儿子 的节点 才会在知道 前序后序 的情况下有不同的中序遍历

 

4.对于一个方格矩阵，任意取两点，要想两点之间的连线不经过任意格点，则$$gcd(x_1-x_2,y_1-y_2)=1$$

 

5.离散数学，数论，与计算机科学中的逆元定义是不一样的咯。

 

6.费马小定理求逆元对应模数应为素数。

 

7.一个无向无环图上的广义叶子节点（度数为1）除以2向上取整即为将整张图联通所需要加的最少的边数。

公式篇：

 

1.n个人排成一条链，有c种选择，每个相邻的人的选择不能相同的方案数：

$$ans=c*c^{n-1}$$

2.n个人排成一个环，有c种选择，每个相邻的人的选择不能相同的方案数：

$$ans=(c-1)^n+(-1)^n*(c-1)$$

3.(小凯的疑惑)两个互质的数，随便加，最大加不出

$$a*b-a-b$$

 4.计算一个数的约数个数：

首先将这个数质因数分解，假设为$a^m \times b^n$，那么约数个数为$(n+1) \times (m+1)$

 5.计算一个数的约数和：

首相将这个数质因数分解，假设为$a^m \times b^n$，那么约数和为$(a^0+a^1+a^2+...a^m) \times (b^0+b^1+b^2+...b^n)$。

 6.对于一个高为h，速度为v的物体抛出，要扔的最远那么

$$ \text{角度为}  \frac{v}{ \sqrt {2 \times v^2 + 2gh} } $$

$$ \text{最远距离为} v \times \sqrt { \frac {v^2+2gh}{g} } $$

7.任意多边形知道坐标计算面积：

$$S= \frac{1}{2} (| \sum^{n-1}_{i=1} (x_iy_{i+1 }-x_{i+1} {y_i} ) | + | x_1y_n - x_ny_1 | ) $$

8.对于一个长度为n的集合，其所有子集的合为

$$ \sum^n_{i=1}{a_i} \times 2^{n-1} $$

9.$1-n$中gcd(i,j)=k的个数有

$$2 \times \sum^{ \lfloor \frac{n}{k} \rfloor }_{i=1} \phi(i)-1 $$

10.一个长度为$n \times m $的矩形中包含___个小矩形

$$ \sum_{i=1}^{n}i \times \sum_{i=1}^{m}i $$

11.等比数列求和公式

$$S_n= \frac {a_1(1-q^n)}{1-n} (a为数列第一项,q为公比,n为序列长度)$$

12.解一般三次方程$(x^3=mx+n)$[卡丹公式]

$$x= \sqrt[3]{ \frac{n}{2}+\sqrt{ ( \frac {n}{2} )^2-( \frac{m}{3} )^3 } } + \sqrt[3]{ \frac{n}{2}- \sqrt{ (\frac{n}{2})^2- (\frac{m}{3})^3 } } $$

13.求整数n的约数和

首先质因数分解

$$n= \prod_{i=1}{k} = p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times ....\times p_k^{a_k} $$

==>$$Sum=(1+p_1+p_1^2+...+p_1^{a_1 } ) \times (1+p_2+p_2^2+....+p_2^{a_2}) \times .... \times (1+p_k+p_k^2+....+p_k^{a_k})$$

参考第15项等比数列求和公式计算答案可得

==>$$Sum= \prod_{i=1}^{k} \frac{P_i^{a_i+1}-1}{a_i-1}$$

14.根据费马定理可知

$$a^x \equiv a^{ \mu (x) }mod p, \mu(x)=x-1$$ 

15.等比数列求和公式

$$S_n=\begin{cases}a_1 \times n(q=1)\\a_1 \frac{1-q^n}{1-q} = \frac{a_1 - a_n \times q }{1-q} (q \not= 1 )\end{cases}$$ 

$$S_n表示等比数列前n项的和，q表示公比,a_1表示数列第一项$$

16.球的体积公式

$$V=\frac{4}{3} \pi R^3$$ 

$$公式中R为球的半径,V为球的体积$$

17.卡特兰数的计算公式

$$C_n= \frac{1}{n} \binom{2n}{n}= \frac{(2n)!}{(n+1)!n!} = \binom{2n}{n}-\binom{2n}{n-1} $$ 

18.三角函数

正弦定理$$k=\frac{a}{SinA}=\frac{b}{SinB}=\frac{c}{SinC}$$

余弦定理$$a^2=b^2+c^2-2bc·CosA$$ 

19.关于取模

$$\frac{a}{b} \%p= \frac{a \% (b·p)}{b}$$

20.平方和问题

$$\sum_{i=1}^{n}i^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ 

21.汉诺塔问题

由打表的出的答案$1,3,5,15,31...$

可得两种规律(证明的话当然用数学归纳法啦)

$$a_i=2 \times a_{i-1}+1$$

$$a_i=2^i-1$$

 

 Continuous renewal...

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