第二章算法作业

分治法的核心逻辑很朴素：“分解 - 解决 - 合并”。面对一个复杂问题，先把它拆成若干个结构相似的子问题，解决子问题后，再把结果合并成原问题的解。

对于 “找第 k 小的数”，分治法的优势在于：我们不需要给整个数组排序，只需要通过 “划分” 定位到第 k 小的数所在的子区间，然后递归处理这个子区间即可 —— 这就像在一堆苹果里找第 3 小的，没必要把所有苹果按大小排好，只要先挑一个苹果当 “参照物”，把比它小的放左边、比它大的放右边，再看第 3 小的在左边还是右边，针对性地找就行。
步骤 1：选一个 “基准”，给数组 “分家”
首先从数组中选一个元素作为基准（pivot），然后把数组分成三部分：
左区间（L）：所有元素都比 pivot 小；
中间区间（M）：所有元素都等于 pivot；
右区间（R）：所有元素都比 pivot 大。
比如数组[5, 2, 9, 1, 5, 6]，若选 pivot=5，划分后：
L = [2, 1]（比 5 小）；
M = [5, 5]（等于 5）；
R = [9, 6]（比 5 大）。
步骤 2：判断第 k 小的数在哪，递归求解
划分后，我们只需要关注第 k 小的数在哪个区间：
若 k ≤ 左区间长度（len (L)）：说明第 k 小的数在左区间，递归处理左区间，找第 k 小的数；
若左区间长度 <k ≤ 左区间长度 + 中间区间长度（len (L)+len (M)）：说明第 k 小的数就是 pivot（因为中间区间的元素都等于 pivot，且排在左区间之后）；
若 k > 左区间长度 + 中间区间长度：说明第 k 小的数在右区间，递归处理右区间，找第 k'=k-(len (L)+len (M)) 小的数（因为右区间的元素排在左和中间之后，需要调整 k 的值）。

最好情况：O (n)
如果每次选的 pivot 都能把数组 “均匀劈开”（比如 pivot 是数组的中位数），左、右区间的长度差不多是原数组的一半。
第一次划分遍历数组，耗时 O (n)；
下次递归处理的子数组长度是 n/2，耗时 O (n/2)；
再下次是 n/4，耗时 O (n/4)……
总耗时就是 O (n) + O (n/2) + O (n/4) + ... ≈ O (n)（等比数列求和，总和趋近于 2n）。
最坏情况：O (n²)
如果每次选的 pivot 是数组中最小或最大的元素（比如数组已经排序，却每次选最后一个元素当 pivot），划分后子数组的长度只比原数组小 1。
第一次划分耗时 O (n)；
下次递归处理 n-1 个元素，耗时 O (n-1)；
再下次是 n-2……
总耗时就是 O (n) + O (n-1) + ... + O (1) = O (n²)，和 “冒泡排序后取第 k 个” 一样慢了。

用分治法找第 k 小的数，本质是通过 “划分 - 定位 - 递归” 的思路，把一个 O (n log n) 的排序问题简化为平均 O (n) 的高效解法。这背后，是分治法 “化繁为简” 的核心思想 —— 面对复杂问题时，与其硬刚，不如拆成小问题逐个击破。