试验品 #0

尝试仅用逻辑推导和关键信息代替详细描述，让我这个懒癌患者也能学有所获。

格式很一坨，

#00 [COCI 2023/2024 #1] Mostovi

\(\mathbf{1.}\) 类似割边割点的定义。
\(\to\) 找出一颗 dfs 生成树。

\(\mathbf{2.}\) dfs 生成树性质：
\(\to\) 所有非树边在生成树上都为祖孙关系。

#01 [ICPC-AP Yokohama R 2021] Planning Railroad Discontinuation

\(\mathbf{1.}\) 每层的图结构相似 & 边权相似。
\(\to\) 与 Kruskal 的贪心更为适配。

\(\mathbf{2.}\) 在边权互不相同的情况下判断一条边是否会在 MST 中：
\(\to\) 若存在一个包含此边的环，且该边为环上最大权，则该边不会出现在 MST 中。

#02 [CF 2173F] Isla's Memory Thresholds

\(\mathbf{1.}\) \(a_{1\sim n}\) 不增。
\(\to\) 对于相同的长度 \(d\)，右端点 \(r\) 越靠后和越小。
\(\to\) 和 \(\ge x\) 的区间左端点向后区间长度不降。

\(\mathbf{2.}\) 序列总长为 \(n\) 结合 [1] 中的区间长度不降。
\(\to\) 消除过程中消除的区间长度种类数是 \(\mathcal{O}(\sqrt{n})\) 的。
\(\to\) 直接二分可以做到 \(\mathcal{O}(q\sqrt{n}\log n)\)。

\(\mathbf{3.}\) [1] 中所述：区间长度相同时，右端点与区间和具有单调性。
\(\to\) 对所有询问一起处理同一长度，事先对询问的 \(x\) 排序即可做到线性。

\(\mathbf{4.}\) 结合 [2],[3]：
\(\to\) 以 \(\sqrt{n\log n}\) 为界阈值分治可以做到 \(\mathcal{O}(q\sqrt{n\log n} + q\log q)\)。

\(\mathbf{5.}\) [1], [2] 说明这个问题相当于是找到 \(\sum\limits_{i} a_ic_i\le n\) 的所有 \((a_i, c_i)\) 对（分别代表长度和个数），且判定可以做到 \(\mathcal{O}(1)\)。
\(\to\) 倍增找到区间长度的大致界限再二分确定值，同样方式找到区间个数，可以做到 \(\mathcal{O}(q\sqrt{n})\)。

#03 [CF 2173E] Shiro's Mirror Duel

\(\mathbf{1.}\) 直接按 \([1, 2, \cdots]\) 放回原位，每次复原不打乱无关位置，每放回 \(1\) 个值期望 \(3\) 步。
\(\to\) 尝试通过平衡使 \(3\) 变到 \(2.5\)。

\(\mathbf{2.}\) [1] 需要 \(3\) 步的原因：不能打乱无关位置。
\(\to\) 如果改成允许打乱无关位置，期望 \(2\) 步。

\(\mathbf{3.}\) 根据 [1] 最后的想法尝试融合 [1],[2]。
\(\to\) 对比适用范围：[1] 皆可，[2] 要求不能影响到对称位置。
\(\to\) 把顺序变为 \([1, n, 2, n - 1, \cdots]\)，小的位置用 [2]，大的位置用 [1] 即可。

#04 PGF（概率生成函数）

\(\mathbf{1.}\) 形式：
\(\to\) 记 \(F_X(z) = \sum\limits_{i\ge 0} \operatorname{Pr}(X = i) z^i\)，需要保证 \(F_X(1) = 1\)。

\(\mathbf{2.}\) 与期望的联系：
\(\to\) 考虑 \(F_X'(z) = \sum\limits_{i\ge 0}i\operatorname{Pr}(X = i)z^{i - 1}\)，于是 \(F_X'(1) = \sum\limits_{i\ge 0} i\operatorname{Pr}(X = i) = \operatorname{E}(x)\)。

\(\mathbf{3.}\) 辅助生成函数：
\(\to\) 记 \(G_X(z) = \sum\limits_{i \ge 0} \operatorname{Pr}(X > i)z^i\)。

\(\mathbf{4.}\) [1],[2],[3] 间的联系：
\(\to\) 若 \(i\) 时刻还未结束，那么 \(i + 1\) 时刻要么结束要么没结束。
\(\to\) 用生成函数表达：\(zG_X(z) = F_X(z) + G_X(z) - f_0 - g_0\)。
\(\to\) 两侧求导：\(G_X(z) + zG_X'(z) = F_X'(z) + G_X'(z)\)。
\(\to\) 代入 \(z = 1\)：\(G_X(1) = F'_X(1) = \operatorname{E}(x)\)。

#05 [CTSC2006] 歌唱王国

\(\mathbf{1.}\) 尝试用 PGF 来解决问题，依旧记 \(F(x), G(x)\)。
\(\to\) 需要找一个 \(F(x), G(x)\) 的关系去求解 \(G(1)\) 或者是 \(F'(1)\)。

\(\mathbf{2.}\) 根据 [1] 的想法，考虑对于长度为 \(i\) 且还未结束的状态，往后接一个 \(A\) 串一定结束，概率为 \(\left(\frac{1}{m}\right)^{|A|}\)。
\(\to\) 问题：有可能在过程中已经得到了整个 \(A\) 串，而非结束时才得到 \(A\) 串。
\(\to\) 枚举放了多少长度就得到了 \(A\)：\(\left(\frac{z}{m}\right)^{|A|} G(z) = \sum\limits_{i = 1}^{|A|} [A_{[1, i]} = A_{[|A| - i + 1, |A|]}]\left(\frac{z}{m}\right)^{|A| - i}F(z)\)。

\(\mathbf{3.}\) 在 [2] 得到关系式后，结合 [1] 考虑带入 \(z = 1\)：
\(\to\) \(G(1) = \sum\limits_{i = 1}^{|A|} [A_{[1, i]} = A_{[|A| - i + 1]}] m^i F(1) = \sum\limits_{i = 1}^{|A|} [A_{[1, i]} = A_{[|A| - i + 1]}] m^i\)。