CF 2070F Friends and Pizza

集合幂级数还是菜菜的。

这个题目的预期复杂度第一眼看着可能像是 \(\mathcal{O}(\operatorname{poly}(n)\ V)\)，但是细想一下这样或许要跟背包有关，而背包不好表示出两人共选的限制。

不过考虑到是选择两人，那可以尝试一些结构的合并。

注意到 \(n\le 20\)，尝试把每个人喜爱的编号看做二进制数 \(a_i\) 处理。

此时就很好表示两人 \(i, j\) 共选的集合了，就是 \(a_i\cap a_j\)。
再尝试表示出限制，记 \(P\) 是奇数块的编号集合，那么 \((i, j)\) 合法当且仅当 \(a_i\cap a_j \cap P = \varnothing\)。

并且此时就可以知道被吃掉的编号集合 \(a_i\cup a_j\)，就可以知道剩下的编号，也就可以算出来和了。

综上，我们只需要考虑求出：

\[f_s = \sum\limits_{i = 1}^m\sum\limits_{j = i + 1}^m[a_i \cup a_j = s][a_i\cap a_j \cap P = \varnothing] \]

首先尝试把 \(\sum\sum\) 处的 \((i, j)\) 限制给去掉，这里相当于是枚举 \(i < j\) 的有序对，只需要先算出任意的 \((i, j)\) 对，去掉 \((i, i)\) 贡献，最后 \(/ 2\) 就可以得到真实值。
于是记 \(c_s = \sum\limits_{i = 1}^m [a_i = s]\)，只需要考虑求出：

\[f'_s = \sum\limits_{a = 0}^{2^n}\sum\limits_{b = 0}^{2^n}[a \cup b = s] \]

这个形式长的就很像子集卷积，尝试对比一下子集卷积的形式：

\[f''_s = \sum\limits_{a = 0}^{2^n}\sum\limits_{b = 0}^{2^n} [a\cup b = s][a\cap b = \varnothing] \]

几乎是一样的，所以尝试套用子集卷积的方法：

\[\begin{align*} &a \cup b = s, a\cap b = \varnothing\\ \Rightarrow &a\cup b = s, |a| + |b| = |s| \end{align*} \]

尝试转换，可以得到：

\[\begin{align*} &a\cup b = s, a\cap b\cap P = \varnothing\\ \Rightarrow &a\cup b = s, (a\cap P) \cap (b\cap P) = \varnothing\\ \Rightarrow &a\cup b = s, |a\cap P| + |b\cap P| = |s\cap P| \end{align*} \]

于是类似的，设计 \(x^sy^i\)，\(x\) 这一维乘法为 FWT-OR，\(y\) 这一维乘法为多项式卷积。

于是有：

\[F(x, y) = \sum\limits_{s = 0}^{2^n} c_s x^s y^{|s\cap P|}\\ f'_s = [x^s y^{|s\cap P|}]F(x, y)^2 \]

时间复杂度 \(\mathcal{O}(2^n n^2)\)。

#include <bits/stdc++.h>

using ll = long long;

constexpr int N = 20;
constexpr int M = 5e5 + 10;

int n, m;
int lk[M], a[N], mask0;

ll f[N + 1][1 << N], g[N + 1][1 << N];
ll cnt[1 << N], ans[M];

int main() {
  scanf("%d%d", &n, &m);
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    static char str[23];
    scanf("%s", str);
    int slen = strlen(str);
    for (int j = 0; j < slen; j++) {
      lk[i] |= 1 << str[j] - 'A';
    }
  }
  int sum = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++) {
    scanf("%d", &a[i]);
    mask0 |= (a[i] & 1) << i;
    sum += a[i];
  }
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int lk0 = lk[i] & mask0;
    f[__builtin_popcount(lk0)][lk[i]]++;
    if (lk0 == 0) {
      cnt[lk[i]]--;
    }
  }
  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int w = 0; w < n; w++) {
      for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {
        if (s >> w & 1) {
          f[i][s] += f[i][s ^ (1 << w)];
        }
      }
    }
  }
  for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
      for (int j = 0; i + j <= n; j++) {
        g[i + j][s] += f[i][s] * f[j][s];
      }
    }
  }
  for (int i = 0; i <= n; i++) {
    for (int w = 0; w < n; w++) {
      for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {
        if (s >> w & 1) {
          g[i][s] -= g[i][s ^ (1 << w)];
        }
      }
    }
  }
  for (int s = 0; s < (1 << n); s++) {
    int s0 = s & mask0;
    cnt[s] += g[__builtin_popcount(s0)][s];
    cnt[s] /= 2;
    int suma = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      if (~ s >> i & 1) {
        suma += a[i];
      }
    }
    ans[suma] += cnt[s];
  }
  for (int i = 0; i <= sum; i++) {
    printf("%lld%c", ans[i], " \n"[i == sum]);
  }
  return 0;
}