P1143 进制转换

问题概述

题目要求我们实现一个程序，将一个n进制的数转换为m进制的数。其中n和m的范围都是2到16，当进制大于10时，使用大写字母A-F表示10-15的数字。

解题思路

解决这个问题可以分为两个主要步骤：

1. 将n进制数转换为十进制数：这是进制转换的基础，我们需要将输入的n进制数先转换为计算机容易处理的十进制数。

2. 将十进制数转换为m进制数：得到十进制结果后，我们再将其转换为目标进制m。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define endl "\n"
using namespace std;

char q[55], top; // 使用数组q作为栈存储转换后的数字，top表示栈顶

int main() {
    int b, t, num = 0; // b:原始进制，t:目标进制，num:存储十进制结果
    string n; // 存储输入的n进制数
    cin >> b >> n >> t;
    
    // 第一步：将n进制转换为十进制
    int len = n.size();
    for (int i = 0; i < len; i++) {
        int m; // 当前位的数值
        // 处理字母和数字两种情况
        if (n[len - i - 1] >= 'A' && n[len - i - 1] <= 'F') {
            m = n[len - i - 1] - 'A' + 10; // 将A-F转换为10-15
        } else {
            m = n[len - i - 1] - '0'; // 将字符数字转换为数值
        }
        num += (m * pow(b, i)); // 按位权展开求和
    }
    
    // 第二步：将十进制转换为m进制
    if (t <= 10) {
        // 目标进制≤10时，直接使用数字表示
        while (num) {
            q[++top] = num % t + '0'; // 取余得到当前位，转换为字符
            num /= t; // 除以目标进制继续处理
        }
    } else {
        // 目标进制>10时，需要处理字母表示
        while (num) {
            char c;
            if (num % t >= 10) 
                c = num % t - 10 + 'A'; // 10-15转换为A-F
            else 
                c = num % t + '0'; // 0-9直接转换为数字字符
            q[++top] = c;
            num /= t;
        }
    }
    
    // 输出结果：从栈顶开始输出，实现逆序
    while (top) {
        cout << q[top--];
    }
    
    return 0;
}

关键点说明

1. 进制转换原理：

   • n进制转十进制：按位权展开求和，即每一位的值乘以n的相应次方。

   • 十进制转m进制：不断除以m取余数，最后将余数逆序排列。

2. 字符处理：

   • 输入时，A-F代表10-15，需要特殊处理。

   • 输出时，根据目标进制决定是否使用字母表示。

3. 逆序输出：

   • 使用栈结构（这里用数组模拟）存储转换结果，因为进制转换得到的数字是逆序的。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(len(n) + log(num))，其中len(n)是输入数字的长度，log(num)是十进制结果转换为m进制时的循环次数。

• 空间复杂度：O(1)，使用了固定大小的数组存储结果。

示例验证

以题目中的样例为例：

• 输入：16(进制) FF(数字) 2(目标进制)

• 过程：

  1. FF(16) = 15×16⁰ + 15×16¹ = 15 + 240 = 255(10)

  2. 255(10) = 11111111(2)

• 输出：11111111