【深进1.例1】求区间和

题目理解

这道题要求我们处理多个区间求和查询。给定一个长度为n的整数序列，然后有m个查询，每个查询给出一个区间[l, r]，要求计算该区间内所有数的和。

解题思路

暴力解法的问题

最直观的方法是对于每个查询，都从l到r遍历数组求和。这种方法的时间复杂度是O(mn)，当n和m都达到10^5时，这样的时间复杂度会导致超时（10^10次操作在大多数OJ上都会超时）。

前缀和优化

前缀和是一种预处理技术，可以让我们在O(1)时间内回答任何区间和查询。具体思路是：

1. 预处理阶段：创建一个前缀和数组s，其中s[i]表示数组前i个元素的和（a[1]到a[i]）。

2. 查询阶段：对于查询[l, r]，区间和可以通过s[r] - s[l-1]计算得到。

这样，预处理时间复杂度是O(n)，每个查询处理时间是O(1)，总时间复杂度优化为O(n + m)，完全可以处理题目给出的数据规模。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005
using namespace std;

int a[N], s[N], n, m; // 定义数组a存储原始数据，数组s存储前缀和

int main() {
    // 读取序列长度n
    cin >> n;
    
    // 读取序列并计算前缀和
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i]; // 读取第i个元素
        s[i] = s[i - 1] + a[i]; // 计算前i个元素的和，存入s[i]
    }
    
    // 读取查询数量m
    cin>>m;
    
    // 处理每个查询
    while(m--){
        int L,R;
        cin>>L>>R; // 读取查询区间[L,R]
        // 输出区间和：前R项和减去前L-1项和
        cout<<s[R]-s[L-1]<<endl; 
    }

    return 0;
}

代码细节说明

1. 数组定义：使用全局数组a和s，大小设为N=100005，满足题目数据范围要求。

2. 前缀和计算：s[i] = s[i-1] + a[i]这个递推式是关键，它利用已计算的前缀和来快速计算新的前缀和。

3. 查询处理：对于每个查询，直接使用前缀和数组做减法得到结果，避免了重复计算。

4. 索引处理：注意s[L-1]的使用，因为区间包含第L个元素。

复杂度分析

• 时间复杂度：

  • 预处理阶段：O(n)（填充前缀和数组）

  • 查询阶段：O(m)（每个查询O(1)）

  • 总时间复杂度：O(n + m)

• 空间复杂度：O(n)（存储前缀和数组）