[置顶] CF 86D Powerful array 分块算法入门，n*sqrt(n)

简介：分块算法主要是把区间划分成sqrt(n)块，从而降低暴力的复杂度，

其实这算是一种优化的暴力吧，复杂度O(n*sqrt(n))

题意：给定一个数列：a[i]    (1<= i <= n)    K[j]表示 在区间 [l，r]中j出现的次数。

有t个查询，每个查询l，r，对区间内所有a[i]，求sigma（K[a[i]]^2*a[i]）

思路：离线+分块处理 

分块和离线处理：

将n个数分成sqrt(n)块，设每块有bsize个数， 并且我们计算出每个询问的左端点所在的块号(q[i].b = q[i].l/ bsize)。

对所有询问进行排序：

     先按块号排序(块号小的在前)，如果块号相等就要右端点排序(右端点小的在前)

解法：每次跟上次的询问区间比较，把多出来的减掉，把少的加上去。 当然第一个询问直接算。

如果一个数已经出现了x次，那么需要累加(2*x+1)*a[i]，因为(x+1)^2*a[i] = (x^2 +2*x + 1)*a[i]，

x^2*a[i]是出现x次的结果，(x+1)^2 * a[i]是出现x+1次的结果。就是暴力的处理。

复杂度分析：

  处理左端点的复杂度：

        对于相邻询问左端点的差值不会超过sqrt(n)， 所以t个询问的总体复杂度为O(t*sqrt(n))。

  处理右端点的复杂度：

        对于每个块内的几个查询，因为right是单调递增的，所以极限复杂度为O(n),  而且一共有sqrt(n)个块

所以总体复杂度位O(n*sqrt(n));

  因此总的时间复杂度为O(t*sqrt(n)  +  n*sqrt(n))。

为什么选择sqrt(n)分块：

    我们从上面复杂度分析中可以得知， 左右断点的复杂度是独立的，

    当块数少了，左边复杂度加大，右边复杂度减少，  

    反之 当块数多了，左边复杂度减少，右边复杂度加大，

    块数选择sqrt(n)是为了总体复杂度的最小。  

代码：

 

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
const int maxn = 200005;
typedef long long LL;
LL a[maxn], cnt[maxn * 5], ans[maxn], res;
int L, R;

struct node {
	int l, r, b, id;
	bool operator <(const node &t) const {
		if (b == t.b)
			return r < t.r;
		return b < t.b;
	}
} q[maxn];

LL query(int x, int y, int flag) {
	if (flag) {
		for (int i = x; i < L; i++) {
			res += ((cnt[a[i]] << 1) + 1) * a[i];
			cnt[a[i]]++;
		}
		for (int i = L; i < x; i++) {
			cnt[a[i]]--;
			res -= ((cnt[a[i]] << 1) + 1) * a[i];
		}
		for (int i = y + 1; i <= R; i++) {
			cnt[a[i]]--;
			res -= ((cnt[a[i]] << 1) + 1) * a[i];
		}
		for (int i = R + 1; i <= y; i++) {
			res += ((cnt[a[i]] << 1) + 1) * a[i];
			cnt[a[i]]++;
		}

	} else {
		for (int i = x; i <= y; i++) {
			res += ((cnt[a[i]] << 1) + 1) * a[i];
			cnt[a[i]]++;
		}
	}
	L = x, R = y;
	return res;
}
int n, t;
int main() {
	int i;

	scanf("%d%d", &n, &t);
	for (i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%I64d", &a[i]);
	int bsize = sqrt(n + 0.5);

	for (i = 0; i < t; i++) {
		scanf("%d%d", &q[i].l, &q[i].r);
		q[i].b = q[i].l / bsize;
		q[i].id = i;
	}

	sort(q, q + t);
	memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	res = 0;
	for (i = 0; i < t; i++)
		ans[q[i].id] = query(q[i].l, q[i].r, i);

	for (i = 0; i < t; i++)
		printf("%I64d\n", ans[i]);

	return 0;
}