【乘法逆元】简单说说乘法逆元的求法

乘法逆元

一、定义

　　若在mod p意义下，对于一个整数a，有a*b≡1(mod p)，那么这个整数b即为a的 乘法逆元，同时a也为b的乘法逆元

二、求法

　　（1）.费马小定理

　　　　当p为质数时，对于任意整数a，满足a^p-a是p的整数倍

　　　　在mod p意义下可以表示为

　　　　　　a^p-a≡0（mod p）

　　　　　　即为a^p≡a（mod p）

　　　　　　所以a^p-1≡1（mod p）

　　　　　　即为a*a^p-2≡1（mod p）

　　　　所以a^p-2即为a在 mod p 意义下的逆元

　　（2）.扩展欧几里得

　　　　ax≡1（mod p）可以转化成ax+py=1的形式

　　　　那么显然我们可以用扩展欧几里得算法解2元一次方程解出x

　　　　扩展欧几里得算法请戳这里~

　　（3）.O（n）递推1~n的逆元

　　　　

　　　　我们就可以做到O（n）递推

　　　　inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

　　　　从某个dalao博客里盗的图欸嘿嘿

　　（4）.O（n）求阶乘的逆元

　　　　我们假设有x使得 a！x≡1（mod p）

　　　　则（a-1）！*ax≡1（mod p）

　　　　所以说（a-1）！的逆元为 ax%p

　　　　那么我们就可以先求出n！的逆元再倒推回去

　　（5）.欧拉定理

　　　　由a^φ（p）≡1 (mod p)得a^{φ（p）−1}是a的逆元 
　　　　模数不是素数时同样适用

　　（6）.一个小推论

 　　　　（a/b）%p=（a%（bp））/ p

　　　　  证明：

　　　　　　(a/b)%p=a/b-⌊(a/b)/p⌋*p

　　　　　　　　　  =a/b-⌊a/(b*p)⌋*p

　　　　　　　　　  =a/b-⌊a/(b*p)⌋*b*p/b

　　　　　　　　　  =(a%(bp) )/p