算法第三章作业

1.1
递归方程式：dp[i][j] = arr[i][j] + max(dp[i+1][j], dp[i+1][j+1])
定义：dp[i][j]指从三角形第i行j列元素到三角形底部的最大路径和
边界条件（初始化）：若索引从1开始，dp[i][j] = arr[i][j]
1.2
维度：表的维度是二维，nn
填表范围：从第n-1行到第1行，每行的所有列
填表顺序：从下到上，从左到右
1.3
时间复杂度：因为要填充nn大小的表，所以时间复杂度为O（n^2）
空间复杂度：二维dp数组的话就是O(n^2),也可根据数字三角形的数学规律优化为一维数组存储，优化后可以减小到O（n）

2
动态规划算法核心是将问题分割成递归的子问题，根据递归方程式的结果，另开一个数组存储子问题结果来避免重复运算，提高算法效率。例如在数字三角形例题中，想要求顶点到底部的最大路径和，就从结果所求的最底部开始思考，可以将结果拆分为最底部元素值加上最大的上一步路径。从而得出递归方程式。相比穷举法O(2^{n)的时间复杂度，O(n}2)的时间复杂度大大缩小了。这样子的思想可以在最长公共子序列等问题中得到运用。