向量的投影与射影

一、概念比较

 ①人教A版：已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即，其中是与的夹角，（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影（如下图）。

②人教B版：已知向量和轴（如下图）。作，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，则叫做向量在轴上的正射影（简称射影），该射影在轴上的坐标，称作在轴上的数量或在轴的方向上的数量，记作。

 

 

二、概念异同

 

①不同点：向量的投影是一个实数；向量的射影是一个向量；二者不是同一类，求法各不同。

 

②相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的；在数学上表示同一个意思，求法是相同的。

 

 

三、求解举例

 

【例题】已知三点，则向量在方向上的投影为_________。

 

【解析】向量在方向上的投影是实数，利用投影公式求解。

 

由得：，，利用投影公式可知：。

 

所以，向量在方向上的投影为。

 

【变式】已知三点，则向量在方向上的射影为_________。

 

【解析】向量在方向上的射影是向量，利用公式求解。

 

由得：，，利用射影公式可知：所以，向量在方向上的射影为。

 

注意：向量在方向上的投影为实数，向量在方向上的射影为向量它们的类型显然是不同的；但向量在方向上射影的数量为实数，与向量在方向上的投影为实数是一回事儿！