斯特林数
第一类斯特林数： $ n $ 元置换分解为 $ k $ 个独立轮换的方案数，即：
\[\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} =
( n - 1 ) \begin{bmatrix} n - 1 \\ k \end{bmatrix} +
\begin{bmatrix} n - 1 \\ k - 1 \end{bmatrix}.
\]
第二类斯特林数： $ n $ 个元素分成 $ k $ 个非空集合的方案数，即：
\[\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} =
k \begin{Bmatrix} n - 1 \\ k \end{Bmatrix} +
\begin{Bmatrix} n - 1 \\ k - 1 \end{Bmatrix}.
\]
下降幂与上升幂与斯特林反演
下降幂：
\[x^{ \underline{ n } } = x( x- 1 ) \cdots ( x - n + 1 ).
\]
上升幂：
\[x^{ \overline{ n } } = x( x + 1 ) \cdots ( x + n - 1 ).
\]
以下给出的公式不予证明（咕了）。
反转公式：
\[\sum\limits_{ i } \begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} i \\ m \end{Bmatrix} ( -1 )^{ n - i } = [ n == m ] \\
\sum\limits_{ i } \begin{Bmatrix} n \\ i \end{Bmatrix} \begin{bmatrix} i \\ m \end{bmatrix} ( -1 )^{ n - i } = [ n == m ]
\]
借助反转公式容易证明以下三个等式：
\[\begin{aligned}
x^{ \underline{ n } } = \sum_{ k = 0 }^{ n } (-1)^{ n - k } \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^{ k }
& \Longleftrightarrow x^{ n } = \sum_{ k = 0 }^{ n } \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{ \underline{ k } } \\
x^{ \overline{ n } } = \sum_{ k = 0 }^{ n } \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^{ k }
& \Longleftrightarrow x^{ n } = \sum_{ k = 0 }^{ n } (-1)^{ n - k } \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} x^{ \overline{ k } } \\
x^{ \overline{ n } } = \sum_{ k = 0 }^{ n } L( n , k ) x^{ \underline{ k } }
& \Longleftrightarrow x^{ \underline{ n } } = \sum_{ k = 0 }^{ n } ( -1 )^{ n - k } L( n , k ) x^{ \overline{ k } }
\end{aligned}
\]
其中 $ L( n , m ) = \sum\limits_{ i } \begin{bmatrix} n \newline i \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} i \newline m \end{Bmatrix} = \binom{ n - 1 }{ m - 1 } \frac{ n! }{ m! } $ 。
而且以上三种关系均可以扩展到任意的 $ f( n ) , g( n ) $ 。
快速求斯特林数的行/列
第一类斯特林数-行
众所周知的有
\[x^{ \overline{ n } } = \sum\limits_{ k = 0 }^{n} \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} x^{ k }
\]
所以就是求 $ x^{ \overline{ n } } $ 。
考虑倍增，每次相当于是由 $ f( x ) $ 求 $ f( x + m ) $ 。
设 $ a_{ i } = [ x^{ i } ] f( x ) $ ，有
\[\begin{aligned}
f( x + m ) &= \sum\limits_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } ( x + m )^{ i } \\
&= \sum\limits_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } \sum\limits_{ j = 0 }^{ i } x^{ j } m^{ i - j } \binom{ i }{ j } \\
&= \sum\limits_{ j = 0 }^{ n } \frac{ x^{ j } }{ j! } \sum\limits_{ i = j }^{ n } i!a_{ i } \frac{ m^{ i - j } }{ (i-j)! }
\end{aligned}
\]
把后面的 $ i!a_{ i } $ 反过来再卷积就好。
第一类斯特林数-列
生成函数。
强制环有标号，单个的EGF $ F( x ) = \sum\limits_{ i = 1 } ( i - 1 )! \frac{ x^{ i } }{ i! } $ 。
m个是 $ G( x ) = F^{ m }( x ) $ 。
快速幂之后除回去 $ m! $ 就好。
但注意由于 $ F( 0 ) $ 不能为 $ 0 $ ，所以要先平移计算完后在算回去。
第二类斯特林数-行
众所周知的有
\[\begin{aligned}
m^{ n } &= \sum\limits_{ k = 0 }^{ n } \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} m^{ \underline{ k } } \\
&= \sum\limits_{ k = 0 }^{ n } \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \binom{ m }{ k } k! \\
&= \sum\limits_{ k = 0 }^{ m } \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} \binom{ m }{ k } k! \\
\end{aligned}
\]
设
\[f( m ) =m^{ n } , g(m) = \begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix} m!
\]
二项式反演变成
\[\begin{aligned}
\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix} m!
&= \sum\limits_{ k = 0 }^{ m } \binom{ m }{ k } k^{ n } ( -1 )^{ m - k } \\
\begin{Bmatrix} n \\ m \end{Bmatrix}
&= \sum\limits_{ k = 0 }^{ m } \frac{ k^{ n } }{ k! } \frac{ ( -1 )^{ m - k } }{ ( m - k )! }
\end{aligned}
\]
直接上fft卷就好。
第二类斯特林数-列
直接从生成函数的角度考虑。
先强制集合有标号，计算其EGF $ F( x ) = e^{ x } - 1 $ 。
m个集合的答案就是 $ G( x ) = F^{ m }( x ) $ 。
直接多项式快速幂。
最后再除回去 $ m! $ 。
关于 $ F( 0 ) $ 不能为 $ 0 $ 的处理方法同上。
