知识点简单总结——单位根反演
知识点简单总结——单位根反演
闲话
传统艺能放送，
咱就是个数学知识点看多少次都记不住的屑。
单位根反演
就是一个式子：
\[[ n | k ] = \sum\limits_{ i = 0 }^{ n - 1 } \omega_{ n }^{ ik }
\]
证明很简单：
整除时， $ \omega_{ n }^{ ik } = 1 $ 。
否则，等比数列求和 $ \frac{ 1 }{ n } \frac{ \omega_{ n }^{ k } * \omega_{ n }^{ (n-1)k } - \omega_{ n }^{ 0 } }{ \omega_{ n }^{ k } -1 } = 0 $ 。
应用
数学推导
例：求 $ \sum\limits_{ i = 0 }^{ \lfloor \frac{ n }{ k } \rfloor } [ x^{ ik } ] f(x) $ 。
\[\begin{aligned}
\sum\limits_{ i = 0 }^{ \lfloor \frac{ n }{ k } \rfloor } [ x^{ ik } ] f(x)
& = \sum\limits_{ i = 0 }^{ n } [ k | i ] [ x^{ i } ] f(x) \\
& = \sum_{ i = 0 }^{ n } [ x ^ i ] f(x) \frac{ 1 }{ k } \sum\limits_{ j = 0 }^{ k - 1 }\omega_{ k }^{ ji } \\
& = \frac{ 1 }{ k }\sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } \sum_{ j = 0 }^{ k - 1 } \omega_{ k }^{ ij } \\
& = \frac{ 1 }{ k }\sum_{ j = 0 }^{ k - 1 } \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i }(\omega_{ k }^{ j })^{ i } \\
& = \frac{ 1 }{ k }\sum_{ j = 0 }^{ k - 1 } f( \omega_{ k }^{ j } )
\end{aligned}
\]
k进制FWT的推导
留个坑，之后的知识点总结会写。
例题
bzoj3328 PYXFIB
loj6485 LJJ 学二项式定理
