[浅谈数学]浅谈博弈论

更好的观看体验请下载pdf

Part 1. basic

[!TIP]

有 一堆 共 n 颗石子，两个玩家轮流从中取走石子。每次玩家可以取走 \(m\)颗以内的石子。不能再取石子的人输。

假设两个玩家都足够聪明，都会采取最优策略，请问先手是否必胜？

1.1.分析与归纳

​ 这是一道经典的博弈论题目，容易提取以下特点：

• 通常是两个人进行游戏

• 两个人都很聪明，都会使用最优策略

  思考如何解决上述题目，引入两个概念：必胜态和必败态

  必胜态：指先手必胜

  必败态：指先手必败

​ 既然双方都聪明，都想让自己赢，那就必须给对方留下必败态，反之，必胜态则一定是由必败态推导而来

​ 回到题目，请问先手是否必胜，也就是问先手是否能在最终使这\(n\)个石子为必胜态

1.2.思路与解决

​ 从\(0\)颗石子时开始找规律，设石子数量为\(n\):

​ 当\(n=0\)时，先手一开始就没有石子可以取了，先手达到必败态

​ 当\(n=1\)时，先手一开始取走\(1\)颗石子，后手达到必败态

​ 当\(n=2\)时，先手一开始取走\(2\)颗石子，后手达到必败态

` ......

​ 当\(n=m+1\)时，先手第一次取\(m\)颗石子，后手第二次取\(1\)颗石子，先手达到必败态

​ ......

​ 当\(n=2m+1\)时，先手第一次取\(m\)颗石子，后手第二次取\(m\)颗石子，先手再取\(1\)颗石子，后手达到必败态

​ ...

[!IMPORTANT]

总结一下，当 \(n=m+1\) 时，当前玩家无论取走 \(1,2,…,m\) 颗石子，都会给对手留下 \(1,2,…,m\) 颗石子。根据我们上面的分析，对手面对 \(1≤n≤m\) 颗石子时，可以一次性取完并获胜。所以，当 \(n=m+1\) 时，当前玩家必输

​ 可以发现一个关键的必败态：

​ \(n\)是\(m+1\)的倍数

​ 也就是说，谁倒霉摊上了这个状态，谁就没了。反之，一方总想让另外一方达到这个状态，这也印证了我们的两个定义

[!NOTE]

这种博弈称为巴什博弈,是尼姆博弈的一个特例

1.3.恭喜你！已经完成了一道博弈论的水题！

Part 2. drawing

[!TIP]

将每个状态视为一个节点，再从每个状态向它的后继状态连边，可以画出什么样的图？

根据上文必胜态与必败态的定义，我们可以得出如下三条定理：

1. 没有后继状态的状态是必败状态

   理解：我都不能往下进行了肯定就是输了

2. 一个状态是必胜状态当且仅当存在至少一个必败状态为它的后继状态

   理解:我必定想要给对手留下一个烂摊子，如果我们还能导出必胜状态，说明博弈还能继续进行，如果不能,同定理1,就直接寄掉了

3. 一个状态是必败状态当且仅当它的所有后继状态均为必胜状态

   理解：如果我不能将它扭转为必胜状态，同定理1,我就直接寄掉了，因此，如果博弈还能继续进行，我们就必须将其扭转为必胜状态

因此我们就可以得到以下的图（蓝色代表必胜，红色代表必败，渲染方向如箭头所示）

未完待续

​