各类题目解法总结

各类题目解法总结

一、DP

性质：

  • 最优子结构，可拆解并且子问题最优，父问题最优

  • 子问题重复性，一个子问题可能会影响多个不同的下一阶段的原问题 (可以从数位DP中清楚地理解)

  • 无后效性，即此时的之前状态无法直接影响未来的决策

1.1 区间DP

常见数据范围&解题方法：

数据范围 类型 解题方法 复杂度 例题&练习
\(50\sim 100\) 三个区间的合并 区间DP枚举两个中间点 \(O(n^4)\)
\(400\) 三个区间的合并 区间DP+单调队列优化 \(O(n^3)\) P4805 [CCC2016] 合并饭团
\(400\) 两个区间的合并 区间DP枚举一个中间点 \(O(n^3)\) P1880 [NOI1995] 石子合并

1.2 树型DP(DAG上DP)

常见数据范围&解题方法：

树型DP较为灵活，可以和图论、树剖等结合，出难题较为容易

一般优化方法：树链剖分、换根、数论、期望

1.3 计数DP

常见数据范围&解题方法：

数据范围 类型 解题方法 复杂度 例题&练习
\(50\sim 100\) 三个区间的合并 区间DP枚举两个中间点 \(O(n^4)\)
\(400\) 三个区间的合并 区间DP+单调队列优化 \(O(n^3)\) P4805 [CCC2016] 合并饭团
\(400\) 两个区间的合并 区间DP枚举一个中间点 \(O(n^3)\) P1880 [NOI1995] 石子合并

1.4 状压DP

  • 可能是压一行，也可以压两行
  • 熟练掌握位运算

常见数据范围&解题方法：

数据范围 类型 解题方法 复杂度 例题&练习
有一维是\(~10(n)~\)以内，另一维较为正常 普通状压 将少的一维状压成一个数 \(O(n^2\times m)\) P2704 [NOI2001] 炮兵阵地
有一维是\(~3\sim 5(n)~\)，另一维非常大(例如\(~10^{18}(m)~\)) 矩阵加速优化 矩阵加速优化 \(O( 单行状态数^2\times log_2m)\) 三行骑士共存求方案数

1.5 数位DP

常见数据范围&解题方法：

数据范围（数的位数） 类型 解题方法 复杂度 例题&练习
\(\leq10^6\) 板子 普通数位DP(一般是类似记忆化搜索) \(O(k\times n)~~k为一个100左右较大常数，n为位数\) P2602 [ZJOI2010] 数字计数、P4124 [CQOI2016]手机号码、P2657 [SCOI2009] windy 数
非常大 转移方式固定 矩阵加速优化 \(O(100\times log_k)\) 题不同前面的系数不同 P2106 Sam数、U281339 特别长的密码、U281338 分书
非常大 转移方式不固定 数学 具体题目具体看 P3286 [SCOI2014]方伯伯的商场之旅、P2481 [SDOI2010]代码拍卖会（巧妙的拆分）

二、数学

2.1 GCD&EXGCD

  • 备好板子，自己多推几遍
  • 本质上是让gcd中，所有的ax+by = 1

2.2 扩展欧拉定理

当\(~a,m\in \Z~\)时有：

\[a^b\equiv \begin{cases} a^b&b<\varphi (m)\\a^{b~mod~\varphi (m) + \varphi(m)} & b \geq\varphi(m)\end{cases} \]

2.3 Lucas定理

\[\binom n m \equiv \binom {\lfloor \frac n p\rfloor}{\lfloor \frac m p\rfloor} \times \binom {n\%p}{m\%p}\mod p \]

2.4 CRT&EXCRT

对于CRT，我们有更加清楚的认识，就是通过所有数的GCD来构造出一个解

对于EXCRT，就是通过进行两两合并，然后将模数变成lcm，同余的数用同余方程构造、exgcd求解

三、图论

3.1 联通分量部分

考虑即为dfn和low数组的灵活应用，然后得到了许多同种类的联通块

3.2 二分图匹配

考虑可以用网络流，但是谁会去这样做啊！！

匈牙利算法实质：就是让匹配过的去找其他匹配，换了一种方式寻找增广路

复杂度：\(O(nm)\)

3.3 网络流

全都是一遍搜索(bfs或者是SPFA优先跑出分层图，然后再进行网络流上的真正的填流)

dinic 复杂度：\(O(m\sqrt n)\)

常见建模：

最大流、最小割：

  • 最大权闭合子图问题（例题为太空计划问题），本质上是一侧如果流过就选，另一边流过就不选，然后答案即为所有的正权减去最小割

费用流：

  • 餐巾计划问题 巧妙的建图，你需要尽力保证你的建图之后得出的答案是题目中想要的答案
  • 负载平衡问题 流变成了物体（物体的运入运出变成了流的运入运出）

有（无）源汇、有（无）上下界、可行（最大）流：

  • 还只做了模板题QAQ

3.4 图论基本操作

四、字符串

还需要多做一点题QAQ

4.1 KMP字符串匹配

  • 考虑就是跳fail就是最长的后缀等于前缀，相当于失配之后跳到哪里

4.2 AC自动机

  • trie上KMP，需要记一点结论一个节点的儿子等于他的fail对应的那个儿子

4.3 Manacher

  • 就是通过对称的性质减少检查回文串的次数

4.4 后缀数组

  • 忘了，待补

4.5 回文自动机

  • 同上
posted @ 2023-04-05 09:30  ricky_lin  阅读(26)  评论(0)  编辑  收藏  举报