概率密度函数（Probability Density Function, PDF）为描述随机变量的概率分布。亦为累积分布函数（CDF）之导函数。

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[编辑] 定义

对于一维实随机变量X，任何一个满足下列条件的函数fX(x)都可以被定义为其概率密度函数：

  • f_{X} (x)\ge 0, -\infty <x< \infty
  • \int_{-\infty}^{\infty} f_{X} (x)\,dx = 1

随机变量X在区间上的概率可以由其概率密度函数的定积分表示： P[a< X\le b]=\int_{a}^{b} f_X (x)\,dx

而F(x)=P[X<x]=\int_{-\infty}^{x}f_{X}(\xi)d\xi是X的累积分布函数，显然概率密度函数是它的导函数。

[编辑] 应用

随机变量X的n阶矩是X的n次方的数学期望，即

\mathbb{E}[X^n]=\int_{-\infty}^{\infty} x^n f_X(x)\,dx

X的方差为

\sigma_X^2 = \mathbb{E} \left[ \left( X-\mathbb{E}[X] \right) ^2 \right]=\int_{-\infty}^{\infty} (x-E[X])^2 f_X(x)\,dx

[编辑] 特征函数

对概率密度函数作傅利叶转换可得特征函数。

\Phi_X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{j\omega x}\,dx

特征函数与概率密度函数有一对一的关系。因此知道一个分布的特征函数就等同于知道一个分布的概率密度函数。