数据结构：红黑树

红黑树

概念

定义：节点的颜色或红或黑的二叉搜索树，所有的外部节点（External Node）都是黑色的，并且满足如下约束：

• 颜色约束：红色节点的子节点不能为红色
• 黑高度（Black Height）约束：任意节点 u 的所有外路径的黑长度（Black Length）都相同
• 根节点是黑色的

Almost-red-black 树：根节点是红色的，满足颜色约束和黑高度约束

约定：

• \(RB_h\)：黑高度为 h 的红黑树
• \(ARB_h\)：黑高度为 h 的 Almost-red-black tree

递归定义：

• 外部节点是 \(RB_0\) 树，是黑色的
• 一颗二叉树是 \(RB_h\) 树如果：
  • 根节点是黑色的
  • 子树为 \(RB_{h-1}\) 树或 \(ARB_h\) 树
• 一棵二叉树是 \(ARB_h\) 树如果：
  • 根节点是红色的
  • 子树均为 \(RB_{h-1}\) 树

\(ARB_1\)：

\(RB_1\)：

良定义（Well-Defined）的黑高度：从根节点出发，所有外路径的黑长度都相同

可以将某个节点的所有红色子节点“展开”：

操作

插入

概略过程：

1. 将新节点标记为红色（此时黑高度约束依然成立）
2. 在保证黑高度约束成立的情况下，调整颜色和结构，使得颜色约束成立

在某处调整过后可能导致上层的约束不成立，需要递归向上调整

3-node Critical Cluster 满足如下条件：

• 四棵子树都是黑色的：在情况 A、B 中，如果子树 LL 为红色；或者在情况 C、D 中，如果子树 RR 为红色，那么就变成了 4-node critical cluster
• 满足 LL < L < LR < M < RL < R < RR：红黑树是一棵二叉搜索树

更多资料

[1] 红黑树操作可视化：Visualization - Red/Black Tree