离散数学

计算题1：
假设 \(p\) 表示“我喜欢数学”，\(q\) 表示“我会编程”，\(r\) 表示“我喜欢阅读”，\(s\) 表示“我会游泳”。现有如下命题：
(1) 如果我不喜欢数学，那么我一定不会编程；
(2) 如果我会编程，那么我要么喜欢阅读，要么会游泳；
(3) 我不会游泳且不喜欢阅读。
回答：

1. 将以上命题翻译成命题公式，并给出联结词的逻辑意义。
2. 构造以上命题的真值表，并判断其是否为重言式。
3. 判断以下命题是否为重言式：\((p\land q)\to (p\lor r)\)
4. 将命题 \((p\land q)\to (p\lor r)\) 转化成主合取范式和主析取范式。
5. 使用推理法证明：如果我喜欢数学，则我要么喜欢阅读，要么会编程。
6. 请列举至少两个命题逻辑的应用示例。

计算题2：
给定集合\(A=\{1,2,3\}\)和\(B=\{x,y,z\}\)，定义关系\(R_1=\{(1,x),(2,z),(3,y)\}\)，\(R_2=\{(x,2),(y,3),(z,1)\}\)。

1. 将\(R_1\)和\(R_2\)的矩阵表示写出。
2. 求\(R_1\)和\(R_2\)的复合关系\(R_1\circ R_2\)。
3. 求\(R_1\)和\(R_2\)的自反闭包、对称闭包和传递闭包。
4. 将\(R_1\)和\(R_2\)所在的关系矩阵分别进行划分，得到划分\(\Pi_{R_1}=\{\{1\},\{2\},\{3\}\}\)和\(\Pi_{R_2}=\{\{x,z\},\{y\},\{2\}\}\)。求\(R_1\)和\(R_2\)的最小等价关系，并给出等价类划分。
5. 假设\(A'\)和\(B'\)是\(A\)和\(B\)的两个不相交非空子集，定义\(R_3\)为\(A'\times B'\)上的偏序关系，即\((a,b)\ R_3\ (a',b')\)当且仅当\(a<a'\)且\(b<b'\)成立。求\(R_3\)的反链和最长反链长度。
6. 定义\(A\times B\)上的关系\(R_4\)和\(R_5\)分别为\((a,b)\ R_4\ (a',b')\)当且仅当\(a+a'\equiv 1\pmod 3\)，\((a,b)\ R_5\ (a',b')\)当且仅当\(b-b'\equiv 0\pmod 3\)。求关系\(R_4\)与\(R_5\)的笛卡尔积\(R_4\times R_5\)的关系矩阵。
   提示：\(\pmod 3\)下的余数有\(0,1,2\)三个，可以将集合\(A\)和\(B\)分别映射到\(0,1,2\)三个数上。