凸优化
以下是凸优化中常用的公式，使用 LaTeX 和 Markdown 格式表示：
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凸函数（Convex Function）：
定义：函数 \(f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) 是凸函数，如果对于任意两个点 \(x, y \in \mathbb{R}^n\) 和 \(0 \leq \lambda \leq 1\)，满足\[f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y) \] -
凸集（Convex Set）：
定义：集合 \(C \subseteq \mathbb{R}^n\) 是凸集，如果对于任意两个点 \(x, y \in C\) 和 \(0 \leq \lambda \leq 1\)，都有\[\lambda x + (1-\lambda)y \in C \] -
凸优化问题（Convex Optimization Problem）：
目标函数和约束条件都是凸函数的优化问题。 -
最小化凸函数的凸优化问题：
\[\text{minimize} \;\; f_0(x) \]\[\text{subject to} \;\; f_i(x) \leq 0, \;\; i = 1,2,\ldots,m \]\[h_i(x) = 0, \;\; i = 1,2,\ldots,p \] -
凸优化问题的最优解（Optimal Solution of Convex Optimization Problem）：
如果凸优化问题存在最优解，那么最优解满足以下条件：\[f_0(x^*) \leq f_0(x), \;\; \text{for all feasible } x \]\[f_i(x^*) \leq 0, \;\; i = 1,2,\ldots,m \]\[h_i(x^*) = 0, \;\; i = 1,2,\ldots,p \] -
拉格朗日乘子法（Lagrange Multiplier Method）：
对于凸优化问题，通过构建拉格朗日函数，引入拉格朗日乘子，可以将原问题转化为一个无约束优化问题。 -
KKT 条件（Karush-Kuhn-Tucker Conditions）：
对于凸优化问题的最优解，KKT 条件是其必要条件。对于最小化问题，KKT 条件如下：
约束条件：\[f_i(x^*) \leq 0, \;\; i = 1,2,\ldots,m \]\[h_i(x^*) = 0, \;\; i = 1,2,\ldots,p \]拉格朗日乘子：
\[\lambda_i \geq 0, \;\; i = 1,2,\ldots,m \]\[\mu_i \in \mathbb{R}, \;\; i = 1,2,\ldots,p \]KKT 条件：
\[\nabla f_0(x^*) + \sum_{i=1}^{m} \lambda_i \nabla f_i(x^*) + \sum_{i=1}^{p} \mu_i \nabla h_i(x^*) = 0 \]\[f_i(x^*) \leq 0, \;\; i = 1,2,\ldots,m \]\[h_i(x^*) = 0, \;\; i = 1,2,\ldots,p \]\[\lambda_i \geq 0, \;\; i = 1,2,\ldots,m \]\[\lambda_i f_i(x^*) = 0, \;\; i = 1,2,\ldots,m \]
以上是一些常见的凸优化公式和定义。你可以使用 LaTeX 和 Markdown 格式来呈现这些公式，以便更清晰地表示数学表达式。希望对你有所帮助！
