自适应网格重划分算法

1. 公式:

自适应网格重划分算法是一种用于数值模拟中的网格优化方法，其本质是在计算过程中根据需要动态地调整计算区域内的网格结构，以提高计算效率和精度。其数学描述如下：

设 \(\Omega\) 表示计算区域，\(u(x)\) 表示该区域内的物理量（例如温度、速度等），\(\mathcal{T}_h\) 表示网格剖分，\(h\) 表示网格大小，则有：

\[u(x) = \sum_{K \in \mathcal{T}_h} u_K(x) \phi_K(x) \]

其中，\(u_K(x)\) 表示单元 \(K\) 上的物理量，\(\phi_K(x)\) 表示单元 \(K\) 上的基函数。

在自适应网格重划分算法中，根据误差指标 \(\eta_K\)，对网格进行逐层加密或粗化，以提高计算精度，同时保持计算效率。具体地，若 \(\eta_K > \theta\)，则对单元 \(K\) 进行细分，得到更细的子网格，否则将 \(K\) 合并到相邻单元中，得到更粗的网格。其中，\(\theta\) 是用户设定的误差容许值。

2. 有关代码:

自适应网格重划分算法的具体实现涉及到相应的数据结构和算法实现，通常需要使用专业的数值计算软件（如 MATLAB、Python 中的 FEniCS 库等）进行开发。以下是 Python 中使用 FEniCS 库实现自适应网格重划分算法的简单示例代码：

from fenics import *

# Define the computational domain and mesh
mesh = RectangleMesh(Point(0, 0), Point(1, 1), 10, 10)
V = FunctionSpace(mesh, 'P', 1)

# Define the variational problem
u = TrialFunction(V)
v = TestFunction(V)
f = Constant(0)
a = dot(grad(u), grad(v)) * dx
L = f * v * dx

# Define the error indicator
cell_markers = MeshFunction("bool", mesh, mesh.topology().dim())
error_indicator = abs(grad(u) + f)

# Refine the mesh based on the error indicator
tolerance = 0.1
while max(error_indicator.vector()) > tolerance:
    # Compute the error indicator for each cell
    error_indicator.vector()[:] = [error_indicator(cell) for cell in cells(mesh)]
    # Mark the cells for refinement
    cell_markers.array()[:] = error_indicator.vector().array() > tolerance
    # Refine the mesh
    mesh = refine(mesh, cell_markers)

# Solve the variational problem on the refined mesh
u = Function(V)
solve(a == L, u)

在上述代码中，首先定义了计算区域和基本网格剖分，然后根据误差指标进行逐层加密或粗化，最后在新的网格上求解数值问题。