高等数学竞赛II——导数及其应用

导数极限定理：

\[\lim_{h \rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x) \]

Darboux定理：

若函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内可导，则对于任意实数 \(c\)，都存在一点 \(x_0\in (a,b)\)，使得 \(f'(x_0)=c\)。

Fermat定理：

若函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处取得极值，则 \(f'(x_0)\) 不存在，或者 \(f'(x_0)=0\)。

Rolle定理：

若函数 \(f(x)\) 满足以下条件：

1. 在闭区间 \([a,b]\) 内连续；
2. 在开区间 \((a,b)\) 内可导；
3. \(f(a)=f(b)\)。

则在 \((a,b)\) 中至少存在一点 \(c\)，使得 \(f'(c)=0\)。

积分中值定理：

若函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内连续，则存在一点 \(c\in (a,b)\)，使得：

\[\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a) \]

Lagrange中值定理：

若函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，则存在一点 \(c\in (a,b)\)，使得：

\[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a) \]

Cauchy中值定理：

若函数 \(f(x),g(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内连续，在开区间 \((a,b)\) 内可导，且 \(g'(x)\neq 0\)，则存在一点 \(c\in (a,b)\)，使得：

\[\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \]

复合函数求导链式法则：

设函数 \(u=g(x),y=f(u)\)，其中 \(g(x),f(u)\) 均可导，则有：

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}=f'(u)g'(x) \]

Leibniz公式：

对于任意正整数 \(n\)，有：

\[\frac{d^n}{dx^n}(u\cdot v)=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{d^ku}{dx^k}\cdot\frac{d^{n-k}v}{dx^{n-k}} \]

Taylor公式：

设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n+1\) 阶导数，则有：

\[f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x) \]

其中余项 \(R_n(x)\) 可表示为：

\[R_n(x)=\frac{1}{n!}\int_{x_0}^{x}(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt \]

L’Hospital法则：

设函数 \(f(x),g(x)\) 在某个区间内可导且 \(g'(x)\neq 0\)，若 \(\lim\limits_{x\rightarrow a}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow a}g(x)=0\) 或 \(\pm\infty\)，则：

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

Jensen不等式：

设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 上连续且凸，则对于任意实数 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\in[a,b]\) 和任意非负实数 \(p_1,p_2,\cdots,p_n\)，满足 \(p_1+p_2+\cdots+p_n=1\)，有：

\[f(p_1x_1+p_2x_2+\cdots+p_nx_n)\le p_1f(x_1)+p_2f(x_2)+\cdots+p_nf(x_n) \]