高等数学竞赛I——极限与连续

高等数学竞赛I——极限与连续

Cauchy收敛准则：

\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_n=0\) 且 \(\forall \epsilon>0\)，\(\exists N\) 使得当 \(m>n\ge N\) 时，\(|a_n+\cdots+a_m|<\epsilon\)。

Stolz公式：

若 \(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n-b_{n-1}}{a_n-a_{n-1}}=L\in\mathbb{R} \cup \{-\infty,+\infty\}\)，且 \(\lim_{n\rightarrow\infty}(a_n-a_{n-1})=\lim_{n\rightarrow\infty}(b_n-b_{n-1})=0\)，则：

\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{b_n}{a_n}=L \]

Taylor公式：

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上具有 \(n+1\) 阶连续导数，则对于 \([a,b]\) 中任意一点 \(x_0\)，有：

\[f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x) \]

其中余项 \(R_n(x)\) 可以表示为：

\[R_n(x)=\frac{1}{n!}\int_{x_0}^{x}(x-t)^nf^{(n+1)}(t)dt \]

Peano型余项Taylor公式：

设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，则有：

\[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0) \]

其中 \(o(x-x_0)\) 表示当 \(x\rightarrow x_0\) 时，\(o(x-x_0)\) 比 \((x-x_0)\) 快无穷多倍的无穷小量。

Maclaurin展开式：

若函数 \(f(x)\) 在 \(x=0\) 处有 \(n+1\) 阶连续导数，则有：

\[f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_n(x) \]

其中余项 \(R_n(x)\) 可以表示为：

\[R_n(x)=\frac{1}{(n+1)!}f^{(n+1)}(\theta x)x^{n+1},\quad \theta\in(0,1) \]

Demoivre公式：

对于任意实数 \(x\) 和正整数 \(n\)，有：

\[(\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx) \]

Lindeburg-levy定理（中心极限定理）：

设 \(X_1,X_2,\cdots,X_n\) 是 \(n\) 个独立同分布的随机变量，其均值为 \(\mu\)，方差为 \(\sigma^2\)，则当 \(n\) 充分大时，随机变量之和的标准化形式 \(\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i-n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\) 的分布趋近于标准正态分布。

L'Hospital法则：

设 \(f(x),g(x)\) 在某个区间内可导且 \(g'(x)\neq 0\)，若 \(\lim_{x\rightarrow a}f(x)=\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0\) 或 \(\pm\infty\)，则：

\[\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \]

平均收敛定理：

算术平均收敛定理：

设 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致有界，且对任意 \(x\in[a,b]\)，\(\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\) 存在，则 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于 \(f(x)\)。

几何平均收敛定理：

设 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上非负，一致有界且单调递增（或递减），且对任意 \(x\in[a,b]\)，\(\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\) 存在，则 \(\{f_n(x)\}\) 在 \([a,b]\) 上一致收敛于 \(f(x)\)。

夹逼准则：

设函数序列 \(\{f_n(x)\},\{g_n(x)\},\{h_n(x)\}\) 满足对于所有 \(x\in[a,b]\)，有 \(f_n(x)\le g_n(x)\le h_n(x)\)，且 \(\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}h_n(x)=L\)，则 \(\lim_{n\rightarrow\infty}g_n(x)=L\)。

单调有界准则：

若数列 \(\{a_n\}\) 单调递增（或递减）且有界，则数列 \(\{a_n\}\) 收敛。

零点定理：

设函数 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 内连续，且 \(f(a)f(b)<0\)，则在 \((a,b)\) 中至少存在一个根。

压缩映射原理：

设完备度量空间 \((X,d)\) 中的映射 \(T:X\rightarrow X\) 满足 \(\exists K\in(0,1)\)，\(d(Tx,Ty)\le Kd(x,y) (\forall x,y\in X)\)，则 \(T\) 在 \(X\) 中有唯一不动点，并且对于任意 \(x_0\in X\)，迭代序列 \(\{x_n\}\)，\(x_{n+1}=Tx_n\) 收敛于不动点。