曲线积分和曲面积分的复习提纲

曲线积分

第一型曲线积分

• 计算一条光滑曲线 \(\Gamma\) 上的标量场 \(f(x,y,z)\)。
• 公式：\(\int_{\Gamma} f(x,y,z) ds = \int_a^b f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2 + z'(t)^2} dt\)
• 其中 \(x(t)\)，\(y(t)\)，\(z(t)\) 是曲线 \(\Gamma\) 的参数方程。

第二型曲线积分

• 计算一条光滑曲线 \(\Gamma\) 上的向量场 \(\textbf{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\textbf{i} + Q(x,y,z)\textbf{j} + R(x,y,z)\textbf{k}\)。
• 公式：\(\int_{\Gamma} \textbf{F} \cdot d\textbf{r} = \int_a^b \textbf{F}(x(t),y(t),z(t)) \cdot \textbf{r'(t)} dt\)
• 其中 \(\textbf{r}(t) = x(t)\textbf{i} + y(t)\textbf{j} + z(t)\textbf{k}\) 是曲线 \(\Gamma\) 的参数方程。

曲面积分

第一型曲面积分

• 计算一段光滑曲面 \(S\) 上的标量场 \(f(x,y,z)\)。
• 公式：\(\iint_S f(x,y,z)dS = \iint_D f(x,y,z) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \times \frac{\partial(x,y)}{\partial(v,w)} \right| dudv\)。
• 其中 \((x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 是一个曲面参数化，\((u,v)\) 在定义域 \(D\) 内遍历。

第二型曲面积分

• 计算一段光滑曲面 \(S\) 上的向量场 \(\textbf{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\textbf{i} + Q(x,y,z)\textbf{j} + R(x,y,z)\textbf{k}\)。
• 公式：\(\iint_S \textbf{F} \cdot d\textbf{S} = \iint_D \textbf{F}(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \cdot \left( \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v)} \times \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(v,w)} \right) dudv\)。
• 其中 \((x(u,v),y(u,v),z(u,v))\) 是一个曲面参数化，\((u,v)\) 在定义域 \(D\) 内遍历。