51nod1805 小树 prufer序列 + 容斥原理

首先考虑$prufer$序列，那么问题转化为求

一个长为$n - 2$的序列，总共有$n$个元素，恰有$m$个元素不出现在序列中的方案数

考虑容斥，答案即为 至少$m$个元素不出现 - 至少$m + 1$个不出现 + 至少$m + 2$个不出现......

至少$m$个元素不出现的方案数为$C(n, m) * (n - i)^{n - 2}$

接着考虑容斥系数，通过数学归纳法，我们发现是$C(i, m)$

然后就没了，复杂度$O(n \log n)$

注：$n = 1$或者$n = 2$时，树没有$prufer$序列，记得特判

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
using namespace std;

#define ri register int
#define sid 1005000
#define mod 1000000007

int n, m, ans;
int inv[sid], fac[sid];

void Init_C() {
    fac[0] = inv[0] = fac[1] = inv[1] = 1;
    for(ri i = 2; i <= n; i ++) {
        inv[i] = 1ll * (mod - mod / i) * inv[mod % i] % mod;
        fac[i] = 1ll * fac[i - 1] * i % mod;
    }
    for(ri i = 2; i <= n; i ++)
    inv[i] = 1ll * inv[i] * inv[i - 1] % mod;
}

int C(int n, int m) {
    if(n < m) return 0;
    return 1ll * fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}

int fp(int a, int k) {
    int ret = 1;
    for( ; k; k >>= 1, a = 1ll * a * a % mod)
    if(k & 1) ret = 1ll * ret * a % mod;
    return ret;
}

int main() {
    
    cin >> n >> m;
    if(n == 1 || n == 2) 
    { printf("1\n"); return 0; }
    
    Init_C();    
    for(ri i = m, j = 1; i <= n; i ++, j *= -1) {
        ans += (1ll * j * C(i, m) * C(n, i) % mod * fp(n - i, n - 2) % mod);
        if(ans < 0) ans += mod; if(ans >= mod) ans -= mod;
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}