PE394 数学
给定一段长为\(1\)的区间，计算下列步骤的期望操作步数
- 随机在\([0,L]\)中生成两个数\(a, b\)，其中\(L\)是区间的剩余长度
- 令\(L =L- \max\{a, b\}\)，如果\(x < c\)，那么退出步骤
对于参数\(c=x\)，记\(F(x)\)为此问题的答案，试计算\(F(40^{-1})\)，保留十位小数
简单的大学数学题...
设\(E(x)\)为剩余区间长度为\(x\)时的答案，所求即\(E(1)\)
设随机变量\(Y = \max\{a,b\}\)
显然\(E(x) = \begin{cases} 1 + \int_0^x E(x-t)P(Y=t) \mathrm{d} t & (x \geqslant c)\\0 & (0\leqslant x<c)\end{cases}\)
考虑求\(P(Y=t)\)，根据定义，我们有\(P(Y=t) \mathrm{d}t= \mathrm{d} P(Y \leq t)\)
而\(P(Y \leq t) = (\frac{t}{x})^2\)，故\(P(Y = t) = \frac{2t}{x^2}\)
那么原式等价于\(E(x) = \begin{cases} 1 + \int_0^x E(x-t)\frac{2t}{x^2} \mathrm{d} t & (x \geqslant c)\\0 & (0\leqslant x<c)\end{cases}\)
我们只考虑\(x \geq c\)的情况，也即\(E(x)=1 + \int_0^x E(x-t)\frac{2t}{x^2} \mathrm{d} t\)
稍作变换，\(E(x)=1 + \int_0^x E(t)\frac{2(x-t)}{x^2} \mathrm{d} t\)
继续，\(x^2E(x) = x^2 + \int_0^x E(x-t)2t \mathrm{d} t\)
两边对\(x\)求微分，得\(x^2 \mathrm{d}E(x) + 2xE(x) = 2x + 2\int_0^x E(t) \mathrm{d} t\)
我们记\(y=\int_0^x E(t) \mathrm{d} t\)，那么考虑解微分方程\(x^2y'' + 2xy' = 2x + 2y\)
当然，首选是数值逼近
作变量替换\(x = e^t\)，得\(D(D-1)y + 2Dy = 2e^t + 2y\)
即\(D^2y+Dy-2y = 2e^t\)，该方程的特解为\(y = \frac{2}{3}te^t\)
而特征方程\(r^2 + r - 2=0\)的两根为\(1\)和\(-2\)，故通解为\(y=c_1e^t + c_2e^{-2t}\)
整合，我们得到\(y = \frac{2}{3}te^t + c_1e^t + c_2e^{-2t}=\frac{2}{3}x \ln x + c_1x + \frac{c_2}{x^2}\)
对应的有\(E(x) = y' = \frac{2}{3} \ln x + c_1 + \frac{c_2}{x^3}\)
此时有两个未定的常数，条件仿佛只有\(E(c) = 1\)
但注意到，我们的运算过程保证\(E(x)\)是可微的，因此还需补上\(E'(c^{+})=0\)的条件
代入\(c = \frac{1}{40}\)即可
