都市环游

【问题描述】
因为 SJY 干的奇怪事情过多，SJY 收到了休假的通知，于是他准备在都市间
来回旅游。SJY 有一辆车子，一开始行驶性能为 0，每过 1 时间行驶性能就会提
升 1 点。每个城市的道路都有性能要求。SJY 一共有 t 时间休息，一开始他位于
1 号城市（保证 1 号城市道路要求为 0），他希望在 n 号城市结束旅程。每次穿过
一条城市间的路会花费 1 时间， 当然他也可以停留在一个城市不动而花费 1 时间。
当且仅当车子的行驶性能大于等于一个城市， 我们才能到达那里。 SJY 希望知道，
旅游的方案模 10086 后的答案。（只要在某一时刻通过的道路存在一条不相同，
就算不同的方案）
【输入】
第一行三个数 n,m,t，表示有 n 个城市 m 条道路 t 时间。
第二行 n 个数，hi 表示第 i 个城市的道路性能要求。
第三到 m+2 行，每行两个数 u,v，表示城市 u 与城市 v 之间有一条单向道路
连接（可能有重边）。
【输出】
包括一个数字，表示旅游的方案模 10086。
【输入输出样例】
travel.in travel.out
5 17 7
0 2 4 5 3
1 2
2 1
1 3
3 1
1 4
4 1
4 5
5 4
5 3
4 1
2 1
5 3
2 1
2 1
1 2
2 1
1 3
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【数据规模和约定】
对于 20%的数据，n<=10,t<=80；
对于 50%的数据，n<=30,t<=80；
对于 100%的数据，n<=70,m<=1000,t<=100000000,hi<=70。

 

题解：
　　首先一个二维的dp就可以搞出来，就是设dp[i][j],表示处于ｉ节点，已经用了ｊ天的方案数，转移十分显然，能否走或者停留到原点，所以dp[i][j]=dp[i][j-1],dp[i][j]+=dp[to][j-1],这个to,是反边的儿子节点，就是说可以从to转移到i来。这个只能有５０分，记忆化搜索跑的十分快。

　　但我们注意到t太大了，根本开不下，所以我们思考，因为城市的限制很小，所以一旦大于71,后面的转移就不用考虑车子了，所以前面的７１可以用ｄｐ处理出来，后面的我们可以用矩阵快速幂来优化。

　　首先，初始矩阵s[i][j],表示第72天ｉ到ｊ的方案数，然后转移矩阵k[i][j],表示ｉ～ｊ的路径数，然后乘起来就对了，但为什么是对的呢？其实本质就是一个floyed和乘法原理求方案数。

 

代码：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iostream>
#define MAXN 100
#define mod 10086
#define MAXN2 1000000
using namespace std;
struct zhen{
    int w[MAXN][MAXN];
    zhen(){
        memset(w,0,sizeof(w));
    }
};
int c[MAXN][MAXN],ask[MAXN],dp[MAXN][MAXN];
int n,m,t;

void work(){
    dp[1][0]=1;
    for(int t=0;t<=80;t++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(t+1>=ask[j])
                    dp[j][t+1]+=dp[i][t]*c[i][j],dp[j][t+1]%=mod;
    return;
}

zhen jvchen(zhen x,zhen y){
    zhen z;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                z.w[i][j]+=x.w[i][k]*y.w[k][j],z.w[i][j]%=mod;
    return z;
}


int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&ask[i]),c[i][i]++;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        c[x][y]++;
    }
    work();
    if(t<=79){
        printf("%d",dp[n][t]);
        return 0;
    }
    zhen star,zhuan;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        star.w[i][i]=dp[i][80];
        for(int j=1;j<=n;j++)
            zhuan.w[i][j]=c[i][j];
    }
    t-=80;
    while(t){
        if(t&1) star=jvchen(star,zhuan);
        zhuan=jvchen(zhuan,zhuan);t>>=1;
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans+=star.w[i][n],ans%=mod;
    printf("%d",ans);
    return 0;
}