迭代法

(1)二分法

设f(x)是区间[a,b]上的连续函数，f(a)*f(b)<0，

  可知，在[a,b]上必有f(x)一根

 

  令p₁=(a+b)/2，

             若f(p1)*f(a)<0，则[a,p1]必有一根，令b1=p1，a₁=a，p₂=(a₁+b₁)/2；

             若f(p1)*f(a)>0，则[p1,b]必有一根，令a1=p1，b₁=b，p₂=(a₁+b₁)/2；

  重复上述过程n次，可以发现p_n必然越来越接近于真值p

 可以发现 先验误差 |p_n-p|≤1/2ⁿ(b-a)

 若要求预先给定绝对误差ε，则1/2ⁿ(b-a)≤ε  =>  2ⁿ>(b-a)/ε  

  可以得出终止迭代次数n为(log(b-a)/ε ) /log2

 

 R代码实现： 

//二分迭代法
dichotomy<-function(f,a,b,m=100){

      //f为目标函数，a和b为初始区间，m为迭代次数
       if(f(a)*f(b)>0)
　　　　stop("f(a) and f(b) must have different signs.")
　　left<-min(a,b)
　　right<-max(a,b)
　　p<-(left+right)/2
　　n<-1
　　while(left<p&&p<right&&n<m){
　　　　n=n+1
　　　　if(sign(left)!=sign(right)&&left!=0&&right!=0){
　　　　　　p=0
　　　　　　if(f(p)==0){
　　　　　　　　left<-right<-p
　　　　　　　　break
　　　　　　}
　　　　}
　　　　if(sign(f(left))!=sign(f(p))){
　　　　　　right<-p
　　　　}else{
　　　　　　left=p
　　　　 }
　　　　p=(left+right)/2

　　}
　　return(list(root=p,f.root=f(p),iter=n,prec=abs(right-left)/2))
}

 

 

 

 

 

(2) 不动点迭代法