乙巳年四月初七闲话

之前报名了离散数学的习题课，今天下午去试讲被劈头盖脸地批评了一顿。好气好气。

毕竟最近讲了二分图和网络流相关的内容。我寻思习题课上讲讲二分图匹配的应用也好。

看了看同报名的同学们的选题，都是什么谱图定理，什么hopcroft-tarjan算法，什么km算法，什么预流推进算法，花里胡哨的有什么用！你二分图匹配真的理解了吗！

这是俺准备的内容（ppt里直接导出的）：

目录
二分图最小点覆盖
二分图最大独立集
二分图最小边覆盖
棋盘多米诺覆盖
棋盘放车
DAG最小路径覆盖
二分图博弈

二分图最小点覆盖
对于图 𝐺=(𝑉,𝐸)，若点集 V′⊆𝑉 满足 𝐸 中任意一条边都与 𝑉¡ä 中的点相关联，则称 𝑉¡ä 为图 𝐺 的一个点覆盖。求最小点覆盖数。
结论：二分图最小点覆盖数 = 最大匹配数
证明：
课上给出了通过邻接矩阵的证明（书中定理 5.2.3），下面给出另一种证明。
对于二分图 𝐺，首先求出 𝐺 的一个最大匹配 𝑀，由于 𝑀 中任意两条边互不相邻，所以 𝑀 中每条边的两个端点中都要至少选取一个点在点覆盖中。所以最小点覆盖数 ≥ 最大匹配数。
然后构造一个点覆盖达到该下界。

二分图最小点覆盖
构造过程：从右部的一个非匹配点出发，寻找增广路。由于当前是最大匹配，一定寻找失败，最后以一条匹配边结尾。遍历所有这样的路径，标记路径上的所有点。
取左部的标记点和右部的未标记点，构成 𝐺 的一个最小点覆盖。

Q1：该点覆盖是否覆盖了所有边？
Q2：该点覆盖的点数是否等于最大匹配数？

二分图最小点覆盖
Q1：该点覆盖是否覆盖了所有边？
性质1：连通的匹配点同时被标记或者同时不被标记。
性质2：左部的非匹配点一定未被标记，右部的非匹配点一定被标记。
对每条边分类讨论：
1. 两个端点都是匹配点——同时被标记或者同时不被标记；
2. 两个端点都是非匹配点——不存在，否则不是最大匹配；
3. 左端点是匹配点，右端点是非匹配点——同时被标记，否则路径未遍历全；
4. 左端点是非匹配点，右端点是匹配点——同时不被标记，否则找到增广路。
由于每条边两个端点同色，一定可以被覆盖。

二分图最小点覆盖
Q2：该点覆盖的点数是否等于最大匹配数？
左部的标记点和右部的未标记点都是匹配点。
对每一个匹配边，由于两个端点同时被标记或者同时不被标记，所以恰有一个端点被选。
因此构造了一个最小点覆盖使得其点数等于最大匹配数。

二分图最大独立集
对于图 𝐺=(𝑉,𝐸)，若点集 V′⊆𝑉 满足 𝑉¡ä 中任意两点不相邻，则称 𝑉¡ä 为图 𝐺 的一个独立集。求最大独立集大小。
结论：二分图最大独立集大小 = 总点数 - 最小点覆盖数
证明：
设 𝐶⊆𝑉 是 𝐺 的最小点覆盖，𝐸 中任意一条边都至少有一个端点在 𝐶 中。考虑 𝐶 的补集 𝐼=𝑉∖𝐶， 𝐸 中任意一条边都至多有一个端点在 𝐼 中，所以不存在边连接两个 𝐼 中的点。
Q：独立集 𝐼 最大？
假设存在更大的独立集 𝐼¡ä，取补集  𝐶﷮′﷯=𝑉∖𝐼′，容易证明 𝐶¡ä 是点覆盖且   𝐶﷮′﷯﷯<|𝐶|，矛盾。因此 𝐼 是最大独立集。

二分图最小边覆盖
对于图 𝐺=(𝑉,𝐸)，若边集 E′⊆𝐸 满足 𝑉 中任意一个点都与 E′ 中的边相关联，则称 E′ 为图 𝐺 的一个边覆盖。求最小边覆盖数。
结论：二分图最小边覆盖数 = 总点数 - 最大匹配数
证明：
往一个边集 𝐹 中逐个加入边，称加入边 𝑒 后新覆盖的点为 𝑒 标记的点。
先加入最大匹配 𝑀，每个边标记两个点。剩下的非匹配点每个点再用一条边标记，得到一个边覆盖。 𝐹﷯= 𝑀﷯+  V﷯−2 𝑀﷯﷯= 𝑉﷯−|𝑀|.
Q：边覆盖 𝐹 最小？
𝐹 中有  𝑀﷯ 条边均标记了 2 个点，剩下的  𝐹﷯−|𝑀| 标记了 1 个点。若存在更小的边覆盖 𝐹¡ä，则 𝐹¡ä 有超过 |𝑀| 条边标记了 2 个点，这对应一个比 𝑀 更大的匹配，矛盾。

棋盘多米诺覆盖
给定一个 𝑁 行 𝑀 列的棋盘，已知某些位置禁止放置，在上面放 1×2 的多米诺骨牌，问最多能放多少块？

Tips：每个格子被至多一个骨牌覆盖，每个骨牌恰好覆盖两个格子。
对棋盘进行黑白染色，则格子可以分为 𝑋,𝑌 两部。
任意两个相邻的格子颜色不同，在二分图中连一条 𝑋 到 𝑌 的边。
在这两个格子上放一块骨牌对应于选择该边为匹配边。
对二分图 (𝑋,𝑌,𝐸) 求最大匹配数，就是最多能放置的多米诺骨牌数。

棋盘放车
给定一个 𝑁 行 𝑀 列的棋盘，已知某些位置禁止放置，问最多能放多少个不能相互攻击的车？（车的攻击范围是所在行和所在列。）

Tips：每个行/列至多有一个车，每个车恰好占据一个行和一个列。
将行作为左部点，列作为右部点。
每个空位 (𝑖,𝑗) 看做左部点  𝑥﷮𝑖﷯ 与右部点  𝑦﷮𝑗﷯ 之间的连边。
在该位置放车，对应于二分图中选择该边为匹配边。
求最大匹配数，就是最多能放的车数。


DAG最小路径覆盖1
在有向无环图（DAG）上用若干条互不相交的路径（可以包含一个点）来覆盖所有点，问最少用多少条路径？

先将每一个点看作一个单独的路径，然后每选一条边代表合并两条路径为一条。
要选择尽可能多的边，且没有任意两条边从一个点出发，或者汇聚到同一个点。
相当于每个点和至多一个出边匹配且和至多一个入边匹配。
将 DAG 上每个点拆为入点和出点，构成二分图。若存在边 (𝑢,𝑣) 则从 𝑢 的出点向 𝑣 的入点连边。答案即为总点数 - 最大匹配。

Bonus：根据 Dilworth 定理，DAG 上的最小链覆盖 = 最长反链。（参考离散数学I）
DAG最小路径覆盖2
在有向无环图（DAG）上用若干条可相交的路径（可以包含一个点）来覆盖所有点，问最少用多少条路径？

将图 𝐺 通过 Floyd-Warshall 算法求出传递闭包 𝐺¡ä，转化为在 𝐺¡ä 上的最少不相交路径覆盖问题。
证明：对于 𝐺 的一个可相交路径覆盖方案，存在一个到 𝐺 中路径到 𝐺¡ä 中路径的映射，使得在 𝐺¡ä 中这些路径互不相交且仍覆盖所有点。

二分图博弈
给出一张二分图和起始点 𝐻，A 和 B 轮流操作，每次只能选与上个被选择的点（第一回合则是点 𝐻）相邻的点，且不能选择已选择过的点，无法选点的人输掉。问先手是否有必胜策略？

考虑二分图的最大匹配，如果最大匹配一定包含 𝑯，则先手必胜，否则先手必败。
(a) 如果最大匹配一定包含 𝐻，记该匹配为 𝑀，先手只需每次沿 𝑀 中的匹配边转移到匹配点，后手只能沿非匹配边转移。
假设最终后手操作后在一个非匹配点停止，记路径为 𝑃，则取  𝑀﷮′﷯=𝑀⊕𝑃，𝑀¡ä 也是最大匹配但是不包含 𝐻，矛盾。所以最后一定以先手操作后停止。
二分图博弈
(b) 如果最大匹配不一定包含 𝐻，取任意一个不包含 𝐻 的匹配 𝑀，则先手无论向哪个点转移，都一定会转移到匹配点。由于 𝐻 相邻的点一定在最大匹配中，此时对后手来说有必胜策略。

Q：如何判断二分图的最大匹配是否一定包含 𝐻？
对原图求最大匹配，再删去点 𝐻 后求最大匹配，比较两次最大匹配数是否相同。

我特地花很多时间准备了这些恰当的问题模型和详尽的证明。内容有点多了讲的时间超了不少。

刚到地方的时候 zxp 正在挑上一位同学 ppt 的毛病。卧槽这个每一段前面的“·”有没有也要管？

试讲完 zxp 告我你这是堆砌，没有一个突出的中心。

嫌我画图少，觉得我自己脑子里很清晰但是听者跟不上。

挑剔我某些概念用词和课上不一样，课上讲的“最小覆盖”你这个怎么用“最小点覆盖”啊。

知道我是竞赛生，有意无意地强调要让其他人没有竞赛背景的能听懂。

好吧，第一次习题课的时候从舍友那听说了 zxp 不喜欢竞赛生来讲习题课。

虽然很不爽，但主要问题我还是认了。

助教告我你应该有具体的情景引入，然后引到这些抽象的问题和定理。总之要讲个好故事。

行吧我理想中的习题课和老师理想中的相去甚远。

晚上不服气优化了两三个小时重做了一版 ppt，只讲二分图博弈问题（似乎助教只对这个部分比较感兴趣）。

发给助教后才知道自己早就没机会咯。

助教：……（省略一段意见）……我建议你下次上课时候，看一下其他同学的讲解，然后可以报名参加第三次习题课。

好气，我准备的这些就变成无用功了？！

其实试讲后被批评一顿我觉得没什么，我的内容确实有很大问题。但是你当时没有给出明确答复，甚至告诉我有很大改进空间，告我往什么什么方向改进。结果晚上我真的重做了一版后，才告诉我进不了第二轮试讲？助教提出的问题意见让我看不出他这是认真看过我的ppt的回复。

有种想和助教对线的冲动，不过助教也个是干苦力的，还是算了。

upd: 不是哥们，新雅书院的人上人就可以无视这些毛病了？？？