矩阵树定理 学习笔记

全是在抄写 czy 的课件，其实也不是很全面和严谨。

矩阵行列式

定义

矩阵 \(A\) 行列式记为 \(\det(A)\) 或 \(|A|\)。

\[\det(A)=\sum_{\text{$p$ 为 $1\dots n$ 的全排列}}(-1)^{\text{$p$ 的逆序对数}}\prod_{i}A_{i,p_i} \]

性质

• \(A\) 中某一行（列）同乘 \(k\)，行列式乘 \(k\)。
• \(\det(A)=\det(A^T)\)。
• \(A\) 交换两行（列），行列式乘 \(-1\)；
  因为交换两行会使所有排列 \(p\) 逆序对数 \(+1\) 或 \(-1\)。
• \(A\) 中存在两行（列）相等，行列式为 \(0\)；
  因为若 \(r_1,r_2\) 两行相等，那么包含 \(A_{r_1,i},A_{r_2,j}\) 的排列和包含 \(A_{r_1,j},A_{r_2,i}\) 的排列一一对应，乘积相等，符号相反。
• \(A\) 中某一行（列）各元同乘一个数加到另一行（列）对应元上，行列式不变；
  因为行列式是关于某一行（列）的线性函数，在其它行不变的情况下，某一行相加，行列式也就相加；
  可以将 \(A'\) 拆分成 \(A\) 和一个行列式为 \(0\) 的矩阵的和。

约定与定义

• 无向图（有向图）\(G=(V,E)\)。
• \(n=|V|\)，\(m=|E|\)。
• 关联矩阵 \(M(G)[n\times m]\)：

\[M_{i,j}=\begin{cases} -1&\text{$v_i$ 是 $e_j$ 的起点}\\ 1&\text{$v_i$ 是 $e_j$ 的终点}\\ 0&\text{otherwise} \end{cases} \]

当 \(G\) 为无向图时，每条边是随意定向的。

• \(M\) 的简约关联矩阵 \(M_0[(n-1)\times m]\)，是 \(M\) 去掉最后一行得到的。
• \(M\) 的抽列矩阵 \(M_0(S)[(n-1)\times (n-1)]\)，其中 \(S\subseteq E\) 是大小为 \(n-1\) 的边集。
• 拉普拉斯矩阵 \(L(G)[n\times n]\)：

\[L_{i,j}=\begin{cases} -m_{i,j}&i\neq j,~\text{$i,j$ 之间有 $m_{i,j}$ 条边}\\ \mathrm{deg}(v_i)&i=j \end{cases} \]

Lemma I

\[M\times M^T=L \]

\[\begin{aligned} (M\times M^T)_{i,j}&=\sum_k M_{i,k}\times M^T_{k,j}\\ &=\sum_k M_{i,k}\times M_{j,k} \end{aligned} \]

• 若 \(i\neq j\)，\(M_{i,k}\times M_{j,k}=-1\times [e_k\in E]\)，所以 \(\text{上式}=-m_{i,j}\)；
• 若 \(i=j\)，\(M_{i,k}\times M_{j,k}=(M_{i,k})^2=[e_k\in E]\)，所以 \(\text{上式}=\mathrm{deg}(v_i)\)。

Lemma II

设 \(S\subseteq E\)，\(|S|=n-1\)，\(G'=(V,S)\)，则

\[\det(M_0(S))=\pm[\text{$G'$ 构成树}] \]

若 \(G'\) 不构成树，那么 \(M_0\) 会存在若干列线性相关，行列式为 \(0\)。

若 \(G'\) 构成树：

取树上的点拓扑排序后前 \(n-1\) 个点，记为 \(u_1,u_2\dots u_{n-1}\)，以及其对应边 \(c_1,c_2,\dots c_{n-1}\)。

交换 \(M_0\) 的行，使得第一行对应 \(u_1\)，第二行对应 \(u_2\)……

交换 \(M_0\) 的列，使得第一列对应 \(c_1\)，第二列对应 \(c_2\)……

此时 \(M_0\) 变为下三角矩阵，主对角线乘积为 \(\pm 1\)，行列式为 \(\pm 1\)。

Binet-Cauchy 定理

设 \(A[n\times m],B[m\times n]\)，则

\[\det(A\times B)=\sum_{\substack{S\subseteq \{1,2,\dots m\}\\|S|=n}}\det(A[S])\times\det(B[S]) \]

其中 \(A[S]\) 表示取出列集合为 \(S\) 的子矩阵，\(B[S]\) 表示取出行集合为 \(S\) 的子矩阵。

太顶了，看不懂证明。

特别地，当 \(A,B\) 是同阶方阵时，\(\det(A\times B)=\det(A)\times \det(B)\)。

矩阵树定理

设 \(L_0\) 为 \(L\) 去掉第 \(i\) 行第 \(i\) 列的子矩阵，那么 \(G\) 的生成树个数为 \(\det(L_0)\)。

不妨令 \(i=n\)，则 \(L_0=M_0\times M_0^T\)。

\[\begin{aligned} \det(L_0)&=\det(M_0\times M_0^T)\\ &=\sum_{S}\det(M_0[S])\times\det(M_0^T[S])\\ &=\sum_{S}\det(M_0[S])^2\\ &=\sum_{S}[\text{$(V,S)$ 构成生成树}] \end{aligned}\\ \]

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应用

生成树个数计数

\(L=\text{度数矩阵}-\text{邻接矩阵}\)。

有向图：

注意 \(L\) 矩阵去掉的一行一列必须是有向生成树的根所在的行和列。

• 当度数矩阵中 \(\mathrm{deg}(u)\) 为 \(u\) 的入度时，得到的时生成外向树个数；
• 当度数矩阵中 \(\mathrm{deg}(u)\) 为 \(u\) 的出度时，得到的时生成内向树个数；

求生成树边权积的和

将边数改为这些边的权值和。

求生成树边权和的和

我们目前只能求生成树边权乘积的总和，那么就化和为积。

而多项式的性质就符合，在模 \(x^2\) 意义下，\(1\) 次多项式 \(ax+b\) 和 \(cx+d\) 相乘，得到 \((ad+bc)x+bd\)。当 \(b=d=1\) 时，乘积结果多项式的 \(1\) 次项就是 \(a+c\)。

所以我们让两个矩阵的元素都为 \(1\) 次多项式即可。

具体实现时，多项式的加、减和乘很好说，需要注意除法是 \(\dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{ad-bc}{d^2}x+\dfrac{b}{d}\)。

题目

P4336 [SHOI2016]黑暗前的幻想乡

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考虑容斥，每次枚举建筑公司的子集然后矩阵树定理求生成树个数，复杂度 \(\mathcal O(2^nn^3)\)。

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P3317 [SDOI2014]重建

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我们要求

\[\sum_{T\subseteq G}\left(\prod_{e\in T}p_e\times\prod_{e\not\in T}(1-p_e)\right) \]

转化一下就是

\[\prod_{e}(1-p_e)\times\sum_{T\subseteq G}\prod_{e\in T}\frac{p_e}{1-p_e} \]

于是可以矩阵树定理了。

注意 \(p_e=1\) 的情况，可以改成 \(1-\varepsilon\)，就不会出现 \(-\mathrm{NaN}\) 了。

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Topcoder#13369. TreeDistance

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矩阵每个元素放一个 \(1\) 次多项式，\(x\) 代表树边，\(1\) 代表非树边。最后矩阵行列式是一个 \(n−1\) 次多项式，第 \(k\) 次项的系数就代表 \(k\) 条树边的方案数。

给 \(x\) 代入 \(n\) 个值进去高斯消元得到 \(n\) 个点值，再拉格朗日插值得到多项式系数。

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P5296 [北京省选集训2019]生成树计数

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对于已有的边权和为 \(W\)，新加入边权 \(w\)，答案为

\[(W+w)^k=\sum_{i=0}^k{k\choose i}W^iw^{k-i} \]

写成 EGF 就是 \(e^{Wx}\cdot e^{wx}\) 的第 \(k\) 项系数。

那么对于每一条边的边权设为 \(e^{wx}\)，做矩阵树定理，带着多项式高斯消元（任何时刻只保留前 \(k\) 次项），复杂度 \(\mathcal O(n^3k^2)\)。

因为多项式次数不是有限的，只是 \(\bmod x^{k+1}\)，所以不能够拉格朗日插值。

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