没有笔记本时的刷题记录

机房电脑键盘和输入法都很难用，可能笔误很多。

P4244 [SHOI2008]仙人掌图 II

考虑类比 DP 求树的直径，我们需要特殊处理的是每个环内的两点产生的贡献。

如果我们得到了环上每个点 $u$ 的 $f(u)$ 表示 $u$ 在环外伸出的最长链长度，那么可以断环为链，做一个 DP，

\[\mathrm{ans}\leftarrow f(a_i)+f(a_j)+i-j\tag{$i-j\le\frac{\text{环长}}{2}$} \]

可以通过单调队列优化。

整体来说，我们在仙人掌上跑 Tarjan，对于当前的 $u$，出边 $(u,v)$ 如果是割边，那么 $f(u)$ 可以直接由 $f(v)$ 转移而来；然后对于以 $u$ 为根的每个环（$\mathrm{dfn}(u)$ 最小）做上述的 DP，同时可以用环上的每个点更新 $f(u)$。

判断割边即是否 $\mathrm{low}(v)>\mathrm{dfn}(u)$；
判断以 $u$ 为根的环，可以记录每个点在 dfs 树上的父亲，判断是否 $\mathrm{dfn}(v)>\mathrm{dfn}(u)$ 且 $\mathrm{pre}(v)\neq u$（dfs 树上 $u$ 是 $v$ 祖先但不是父亲）。

复杂的 $\mathcal O(n)$。

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P5336 [THUSC2016]成绩单

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考虑做区间 DP。

假如我们设 $f(l,r)$ 表示区间 $[l,r]$ 被发放的最小代价，发现这样是难以转移的，需要由若干个不交的子区间转移而来，代价也难以计算。

在一个区间上选取若干个不交的子区间计算代价的话，我们不如做一个序列 DP。我们只关心没有被选的点中的最大和最小值，用于计算贡献。那么每次对于一个 $i$ 点，考虑它不选，或是作为选择的区间的最后一位，转移为：

\[f(i,j,\max(u,a_j),\min(d,a_j))\gets f(i,j-1,u,d) \]

\[f(i,j,u,d)\gets f(i,k,u,d)+g(k+1,j) \]

其中 $g(i,j)$ 表示 $[i,j]$ 最小的 $f(i,j,u,d)$。

复杂度 $\mathcal O(n^5)$。

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P3262 [JLOI2015]战争调度

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叶子的贡献依赖于祖先的状态，可以暴力去枚举这个状态，然后每个点以子树大小做一个背包。

计算复杂度，每个深度为 $d$ 的点有 $2^{d-1}$ 个祖先状态，对两个儿子合并背包复杂的为 $(2^{n-d})^2$，这样的点有 $2^{d-1}$ 个。所以 $n$ 层求和，总复杂度 $\mathcal O(n2^{2n-2})$。

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P4056 [JSOI2009]火星藏宝图

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对于每一列斜率优化可以做到 $\mathcal O(nm)$，但还不够。

观察到每一列一定是选行编号最大的最优，在当前行做斜率优化就好了，复杂度 $\mathcal O(m^2)$。

注意要维护的是上凸壳。

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P3572 [POI2014]PTA-Little Bird

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口胡：

看起来似乎可以单调队列，但是有“位置、DP 值、高度”三个属性。

但是先不要着急往数据结构优化方面想。观察高度对 DP 值的影响至多为 $1$：

对于 $i<j$ 且 $f_i>f_j$，无论 $i,j$ 的高度关系如何，$i$ 都一定比 $j$ 更优；
只有当 $f_i=f_j$ 且 $h_i<h_j$ 时，$j$ 才可能更优。

也就是“高度”仅仅是 DP 值比较的第二关键字，只有 DP 值相等时才产生影响。

GYM102920D. Electric Vehicle

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首先是一个贪心策略。如果是价格较贵的我们会选择只充到恰好能到下一个站，如果价格较为便宜一定是充满更优。由于容量的限制，我们有连续至多一个的站会是油量非满非空的，如果有连续两个，可以在较为便宜的点多充来调整。

那么只考虑每个点油空和油满两个关键状态。设 $f(t,u,0/1)$ 来表示充 $t$ 次 $u$ 点油空 / 油满的最小代价，有几种转移：

\[\begin{aligned} f(t+1,u,1)&\gets f(t,u,0)+V_u\times W\\ f(t+1,v,0)&\gets f(t,u,0)+V_u\times \mathrm{dis}(u,v)\\ f(t+1,v,1)&\gets f(t,u,1)+V_v\times \mathrm{dis}(u,v)\\ f(t+1,v,0)&\gets f(t,u,1)+\text{something} \end{aligned} \]

最后一种转移就是考虑油量非满非空的中间点，预处理一下。

复杂度 $\mathcal O(\Delta\cdot n^2)$。

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