紫书——小球下落

小球下落

有一棵二叉树,最大的深度为D,所有叶子的深度都相同,所有节点从上到下从左到右的编号为 1,2,3,4....2^D-1

在节点1处放一个小球,它会往下落,每个内节点上都有一个开关,初始化的时候都是关着的,当每次有小球落到一个开关的时候,它的状态就会变化

当小球到达一个内节点的时候,如果开关是关闭的,就往左走,否则就往右走,直到走到叶子节点。

输入 D  I

D表示二叉树的深度,再输入I表示第几个小球

（D <= 20 输入最多包含1000组数据）；

输出

第I个小球最后落入的叶子节点数目。

\

分析： 本质  -> 二叉树

 知识：

结点的度：一个结点拥有子树的数目称为结点的度

树的度：树中所有结点的度的最大值

叶子结点：也称为终端结点，没有子树的结点或者度为零的结点

二叉树的性质：

性质1：二叉树的第i层上至多有2^i-1（i≥1）个节点

性质2：深度为h的二叉树中至多含有2^h-1个节点

性质3：若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子节点，有n2个度为2的节点，则必有n0=n2+1

性质4：具有n个节点的完全二叉树深为log₂x+1（其中x表示不大于n的最大整数）

性质5：若对一棵有n个节点的完全二叉树进行顺序编号（1≤i≤n），那么，对于编号为i（i≥1）的节点：

　　　　当i=1时，该节点为根，它无双亲节点

　　　　当i>1时，该节点的双亲节点的编号为i/2

　　　　若2i≤n，则有编号为2i的左节点，否则没有左节点

　　　　若2i+1≤n，则有编号为2i+1的右节点，否则没有右节点

重点：

对于一个结点，其左右结点分别为 2k 和 2k+1，其父结点为 k/2

多运用位运算  1 << maxd

书中参考代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int maxn = 20;
int s[1<<maxn];
int main(){
    int D,I,k;      
    while(scanf("%d %d",&D,&I)==2){
        memset(s,0,sizeof(s));
        int n=(1<<D)-1;    // n为最大结点编号
        for(int i=0;i<I;i++){   // I个小球下落 
            k=1;
             while(1){
                 s[k] = !s[k];
                 k = s[k] ? k*2 : k*2+1;
                 if(k > n)  break; 
             }
        } 
        printf("%d\n",k/2);
    }
} 

 但是这样做存在缺点：运算量太大，且要开辟一个大数组

 

所以要想提高算法的效率，可以直接模拟最后一个小球的路线。

可以发现小球落在左子树和右子树取决于小球编号的奇偶性，即小球下一步落在左or右子树，完全取决于小球是第几个落在当前子树。

通过分析小球的奇偶以及层数就可以得出answer。

小球编号I为奇数时，它是跳向左边的第(I+1)/2个小球

小球编号I为偶数时，它是跳向右边的第I/2个小球

eg. I 为奇数时

I	1	3	5	7	9	11	13	15
(I+1)/2	1	2	3	4	5	6	7	8
follow	1	右1	2	右2	3	右3	4	右4

 

 

 

 

 代码：

#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
    int D,I;
    while(scanf("%d%d",&D,&I)==2){
        int k=1;
        for(int i=0;i<D-1;i++){
            if(I%2==1){             // 往左边下落 
                k = k*2;
                I = (I+1)/2;
            }
            else{                   // 往右边下落 
                k = k*2+1;
                I = I/2;
            }
        }
        cout << k << endl;
    }
}